「2つの平面の関係を答えなさい」と言われたとき、何をどう見ればいいのか迷ったことはないだろうか。
立体の問題は、頭の中でイメージするのが難しい。教科書の図を見ても、どこが平行でどこが交わっているのか、よくわからないまま進んでしまいがちである。
実は、2つの平面の位置関係は「平行」か「交わる」の2パターンしかない。この記事では、その2つの関係を図とアニメーションで確認し、見分け方を身につけていこう。
そもそも「平面」とは？
平面とは、どこまでも広がる平らな面のことである。紙やテーブルの表面を、限りなく広げたものをイメージするとよい。
数学では、平面は厚さがなく、端もない。実際の紙には端があるが、数学の平面はどこまでも続いていると考える。
空間には複数の平面が存在しうる。例えば、直方体の上面と底面は、それぞれ別の平面上にある。
2平面の位置関係は2パターンだけ
空間にある2つの平面の位置関係は、次の2つしかない。
- 平行：2つの平面がどこまで広げても交わらない
- 交わる：2つの平面が1本の直線で交わる
「ねじれの位置」は2直線の関係である。2平面では「ねじれ」という関係はないので注意しよう。
2平面の位置関係を図で理解する
平行な2平面
2つの平面が平行であるとは、どこまで広げても決して交わらないことである。
上の図で、平面Pと平面Qの間隔はどこを測っても同じである。これが平行な2平面の特徴だ。
交わる2平面
2つの平面が交わるとき、その交わり方は必ず1本の直線になる。この直線を交線という。
交線とは、2つの平面が交わってできる直線のことである。2平面が交わるとき、交わり方は必ずこの1本の直線になる。点で交わることはない。
直方体で確認しよう
直方体（箱の形）を使って、2平面の位置関係を具体的に確認してみよう。
平行な面の例：直方体では、向かい合う面どうしが平行である。
- 面ABCDと面EFGH（上面と底面）
- 面ABFEと面DCGH（前面と背面）
- 面ADHEと面BCGF（左側面と右側面）
交わる面の例：直方体では、となり合う面どうしが交わる。交線は共通の辺である。
- 面ABCDと面AEHD → 交線は辺AD
- 面ABCDと面ABFE → 交線は辺AB
- 面AEHDと面EFGH → 交線は辺EH
2平面の位置関係の見分け方
向かい合っているかを確認する
2つの面が向かい合っている（間に空間がある）なら、平行である。
共通の辺があるかを確認する
2つの面に共通の辺があるなら、交わる。その辺が交線である。
直方体の場合、どの2つの面を選んでも、必ず「平行」か「交わる」のどちらかになる。「ねじれ」のような関係はないので、この2パターンだけ覚えておけばよい。
よくある間違いと対策
「交わる」と「ねじれ」を混同する
「ねじれの位置」は2直線の関係である。2平面の位置関係では「ねじれ」は存在しない。平面の問題では「平行」か「交わる」の2択で考えよう。
交線が見えない
交わる2平面を見たとき、交線がどこにあるかわからないことがある。2つの面に共通する辺を探せば、それが交線である。
向かい合う面を見落とす
立体を頭の中で回転させるのは難しい。直方体なら「上下」「左右」「前後」の3組の向かい合う面があることを意識しよう。
よくある質問と答え
Q. 2平面が1点で交わることはありますか？
A. ない。2つの平面が交わるとき、その交わり方は必ず1本の直線（交線）になる。点で交わることはない。平面は限りなく広がっているため、1点だけで接することは不可能である。
Q. 2平面の「ねじれ」という関係はありますか？
A. ない。「ねじれの位置」は2直線の関係にのみ存在する。2平面の位置関係は「平行」か「交わる」の2パターンだけである。
Q. 交線の見つけ方を教えてください。
A. 交わる2つの面に共通する辺を探せばよい。直方体であれば、となり合う2つの面が共有している辺が交線である。例えば、上面と前面が共有している辺が、その2面の交線になる。
練習問題
まとめ
この記事では、空間における2平面の位置関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 2平面の位置関係は「平行」と「交わる」の2パターンだけ
- 平行な2平面はどこまで広げても交わらない
- 交わる2平面は1本の直線（交線）で交わる
- 直方体では、向かい合う面が平行、となり合う面が交わる
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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