「順列って、確率とどう関係があるの？」と疑問に思ったことはないだろうか。
順列の計算は得意なのに、確率の問題になると急に解けなくなる。そんな経験をしている人は多い。実は、順列と確率の「つなぎ方」がわかれば、複雑に見える確率の問題も整理して解けるようになる。
この記事では、順列の考え方を確率の計算にどう活かすのか、具体例を通じて身につけていく。
そもそも順列とは何か
順列とは、いくつかのものを「順番を考えて」並べる方法の数のことである。
順序が違えば、別の並べ方として数える点がポイントである。例えば「A→B→C」と「C→B→A」は異なる順列として扱う。
具体的に見てみよう。A、B、Cの3人を1列に並べるとき、何通りの並べ方があるだろうか。
よって、全部で $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りである。
これを階乗という記号を使って $3!$（3の階乗）と書く。
順列と確率の関係を図で理解する
確率を求めるには、次の公式を使う。
ここで「すべての場合の数」が順列の考え方で求められることが多い。次のアニメーションで、順列から確率への流れを確認しよう。
このように、順列で「すべての場合の数」を求め、その中から「あてはまる場合の数」を数えることで確率が求まる。
順列を使った確率の求め方
順列と確率の問題を解く手順を整理しよう。
順列の考え方で「全部で何通りあるか」を計算する。
条件を満たす並べ方が何通りあるかを数える。
$\dfrac{\text{あてはまる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$ を約分して答える。
例題で確認しよう
例題1：基本問題
4枚のカードを1列に並べる順列の数は
左端が偶数（2または4）になる場合を考える。
・左端の選び方：2通り（2または4）
・残り3枚の並べ方：$3! = 6$ 通り
よって、$2 \times 6 = 12$ 通り
答え：$\dfrac{1}{2}$
例題2：条件付きの問題
「隣り合う」問題は、隣り合う2人を一組として考えるのがコツである。
5人を1列に並べる順列の数は
AとBを1つのかたまり「AB」として考える。
・「AB」, C, D, Eの4つを並べる：$4! = 24$ 通り
・「AB」の中でAとBの順番：$2! = 2$ 通り（ABまたはBA）
よって、$24 \times 2 = 48$ 通り
答え：$\dfrac{2}{5}$
隣り合う問題を視覚的に理解する
「隣り合う」問題の考え方をアニメーションで確認しよう。
よくある間違いと対策
順列と確率の問題でつまずきやすいポイントを確認しておこう。
| よくある間違い | 正しい考え方 |
|---|---|
| 「隣り合う」で、かたまりの中の順番を忘れる | かたまりの並べ方 × かたまり内の並べ方 |
| 分母と分子を逆にする | 分母＝すべて、分子＝あてはまる |
| 約分を忘れる | 答えは必ず既約分数にする |
この単元のよくある質問
Q. 順列と組み合わせの違いは何ですか？
A. 順列は「順番を考えて」並べる方法の数で、組み合わせは「順番を考えずに」選ぶ方法の数です。例えば、ABCの中から2つを選ぶとき、順列ではAB、BA、AC、CA、BC、CBの6通りですが、組み合わせではAB、AC、BCの3通りになります。
Q. 階乗（!）の計算で0!はいくつになりますか？
A. 0! = 1と定義されています。これは「0個のものを並べる方法は、何も並べない1通り」と考えると理解しやすいです。数学的には、n! = n × (n-1)!の関係式から1! = 1 × 0!より0! = 1となります。
Q. 確率が1を超えることはありますか？
A. 確率は必ず0以上1以下になります。もし計算結果が1を超えたら、分母（すべての場合の数）と分子（あてはまる場合の数）を入れ違えている可能性が高いです。分母が「すべて」、分子が「あてはまる」であることを確認しましょう。
練習問題
まとめ
この記事では、順列と確率の関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 順列とは、順番を考えて並べる方法の数である
- 確率 = あてはまる場合の数 ÷ すべての場合の数
- 「隣り合う」問題は、隣り合うものを一組として数える
- 答えは必ず約分して既約分数にする
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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