「確率の問題は、何をどう数えればいいのかわからない」と感じていないだろうか。
公式は知っているのに、いざ問題を解こうとすると手が止まる。場合の数を数え間違えて、答えが1を超えてしまった経験もあるかもしれない。
実は、確率の計算でつまずく原因は「場合の数の数え方」にある。この記事では、確率の基本公式を正しく使えるようになるまで、順を追って解説する。
そもそも確率とは？
確率とは、「ある事象がどれくらい起こりやすいか」を数値で表したものである。
事象とは、「サイコロで3が出る」「コインで表が出る」など、起こりうる出来事のことである。
例えば、「サイコロを1回振って3が出る確率」を考えてみよう。
- サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6の6通りある
- そのうち3が出るのは1通りである
- よって、確率は $\dfrac{1}{6}$ である
このように、確率は「全体の中で、求めたい出来事がどれだけの割合を占めるか」を表す。
確率の基本公式
確率を求める公式は次の通りである。
この公式を使うためには、次の2つを正確に数える必要がある。
実験や試行で起こりうる結果の総数を数える。
その中で、条件に合う結果の数を数える。
確率の値は必ず 0以上1以下 になる。もし計算結果が1を超えたり、負の数になったりしたら、どこかで数え間違いをしている。
確率を図で理解する
サイコロを1回振るとき、「偶数の目が出る確率」を視覚的に確認しよう。
アニメーションで確認したように、偶数の目が出る確率は次のように求められる。
樹形図を使った確率の求め方
2回以上の試行を行う場合、樹形図を使うと漏れなく数えることができる。
樹形図とは、起こりうるすべての場合を木の枝のように書き出した図である。
例として、「コインを2回投げるとき、少なくとも1回は表が出る確率」を求めてみよう。
確率の計算手順
確率を求めるときは、次の手順に従う。
樹形図や表を使って、起こりうるすべての結果を書き出す。
書き出した結果の総数を数える。これが分母になる。
求めたい条件を満たす結果の数を数える。これが分子になる。
分数を最も簡単な形にする。
例題：2つのサイコロを投げる
2つのサイコロA, Bを同時に投げるとき、「目の和が7になる確率」を求めよう。
計算過程を確認しよう。
よくある間違いと対策
確率の問題でよくある間違いを確認しておこう。
例：サイコロ2つで「目の和が5」のとき、(2,3)と(3,2)を同じと考えてしまう。
→ 2つのサイコロを区別して数えること
例：いびつなサイコロでは、各目が出る確率が $\frac{1}{6}$ ではない。
→ 公式が使えるのは、どの結果も同じ確率で起こる場合のみ
例：樹形図を書かずに頭の中で数えて、一部を忘れる。
→ 必ず樹形図や表を書いて確認すること
確率が0より小さくなったり、1より大きくなったりしたら、必ずどこかで間違えている。答えを出したら、0 ≦ 確率 ≦ 1 を確認しよう。
この単元のよくある質問
Q. 確率が0や1になることはありますか？
A. ある。確率0は「絶対に起こらない」、確率1は「必ず起こる」ことを意味する。例えば、サイコロで7の目が出る確率は0、1〜6のどれかが出る確率は1である。
Q. なぜ2つのサイコロは区別して数えるのですか？
A. 確率を正しく求めるためである。例えば、サイコロ2つで(1,2)と(2,1)は、「1つ目が1で2つ目が2」と「1つ目が2で2つ目が1」という別の結果である。区別しないと、36通りではなく21通りと数えてしまい、正しい確率が求められない。
Q. 樹形図と表のどちらを使えばよいですか？
A. 状況によって使い分ける。コインやくじのように2択の選択が続く場合は樹形図が見やすい。サイコロ2つのように、2つの要素の組み合わせを考える場合は表が便利である。慣れてきたら、問題に合わせて選べるようになる。
練習問題
まとめ
この記事では、確率の基本公式と求め方について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 確率 = （求めたい事象の場合の数）÷（すべての場合の数）
- 確率の値は必ず0以上1以下になる
- 樹形図や表を使って、漏れなく場合を数えることが大切
- 2つのサイコロなど、複数のものは区別して数える
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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