「サイコロを2回振って、両方とも6が出る確率は？」と聞かれたとき、どう計算すればいいか迷ったことはないだろうか。
1回目が6になる確率はわかる。2回目も6になる確率もわかる。でも「両方とも」となると、足すのか掛けるのか、急に自信がなくなる。
実は、連続して起こる確率には「掛け算」という明確なルールがある。この記事では、なぜ掛け算になるのかを図解し、どんな問題にも対応できる考え方を身につけていく。
そもそも「連続して起こる確率」とは？
連続して起こる確率とは、2つ以上の出来事が「両方とも」起こる確率のことである。
独立試行とは、1回目の結果が2回目の結果に影響しない試行のことである。サイコロを振る、コインを投げるなどがこれにあたる。
具体例を見てみよう。
- サイコロを2回振って、両方とも偶数が出る
- コインを3回投げて、すべて表が出る
- くじを2回引いて（引いたくじを戻して）、2回とも当たる
これらはすべて「AかつB」という形の確率である。「または」ではなく「かつ」であることがポイントだ。
連続確率を図で理解する
なぜ連続確率は掛け算になるのか。樹形図を使って、すべての場合を数え上げてみよう。
樹形図を見ると、2回コインを投げたときの結果は全部で4通りある。そのうち「表表」は1通りだけなので、確率は $\dfrac{1}{4}$ である。
これは $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ と計算できる。つまり、連続して起こる確率は、それぞれの確率を掛け合わせるのである。
連続確率の公式
独立試行において、事象Aが起こる確率を $P(A)$、事象Bが起こる確率を $P(B)$ とすると、AとBが連続して起こる確率は次のようになる。
この公式が使えるのは、AとBが独立な場合（お互いに影響しない場合）に限る。例えば、くじを引いて戻さない場合は独立ではないので、この公式をそのまま使えない。
連続確率の求め方：3ステップ
それぞれの確率を求める
1回目の確率、2回目の確率をそれぞれ求める。
独立かどうか確認する
1回目の結果が2回目に影響するかを確認する。「元に戻す」「別々の試行」なら独立。
確率を掛け合わせる
独立なら、それぞれの確率を掛け算する。
例題1：サイコロを2回振る
問題：サイコロを2回振って、両方とも6が出る確率を求めよ。
それぞれの確率を求める
1回目に6が出る確率：$\dfrac{1}{6}$
2回目に6が出る確率：$\dfrac{1}{6}$
独立かどうか確認する
サイコロを振る試行は毎回独立である。1回目が何であっても、2回目の確率は変わらない。
確率を掛け合わせる
答え：$\dfrac{1}{36}$
例題2：コインを3回投げる
問題：コインを3回投げて、すべて表が出る確率を求めよ。
答え：$\dfrac{1}{8}$
3回連続の場合も、同じように掛け算を3回行う。$n$ 回連続で同じ確率 $p$ の事象が起こる確率は $p^n$ となる。
例題3：異なる確率の連続
問題：袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。玉を1個取り出し、色を確認して元に戻す。これを2回行うとき、2回とも赤玉が出る確率を求めよ。
答え：$\dfrac{9}{25}$
よくある間違いと対策
「かつ」と「または」を混同する
「AかつB」は掛け算、「AまたはB」は足し算（ただし重複を引く）。問題文の「両方とも」「すべて」は「かつ」、「少なくとも1つ」は「または」である。
「元に戻す」「戻さない」を見落とす
「元に戻す」場合は毎回同じ確率（独立試行）。「戻さない」場合は2回目の確率が変わる。問題文を必ず確認すること。
約分を忘れる
$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$ のように、掛け算の結果を約分できるか必ず確認する。
掛け算になる理由を深く理解する
なぜ「かつ」は掛け算なのか。もう一度、場合の数で考えてみよう。
サイコロを2回振るとき、起こりうる場合の数は $6 \times 6 = 36$ 通りである。これは「1回目の結果6通り」と「2回目の結果6通り」の組み合わせだから掛け算になる。
「両方とも6」は36通り中1通りなので、確率は $\dfrac{1}{36}$ となる。
つまり、確率の掛け算は「場合の数の掛け算」が背景にあるのである。
この単元のよくある質問
Q. 「少なくとも1回は表が出る」確率も掛け算で求められますか？
A. 直接掛け算で求めるのは難しい。代わりに「余事象」を使う。「少なくとも1回表」の余事象は「全部裏」である。例えば3回投げる場合、全部裏の確率は $(1/2)^3 = 1/8$。よって「少なくとも1回表」は $1 – 1/8 = 7/8$ となる。
Q. くじを戻さない場合はどう計算しますか？
A. 1回目を引いた後、全体の数が減るので確率が変わる。例えば5本中2本当たりのくじで、戻さずに2回連続当たる確率は $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$ となる。2回目は残り4本中、当たりは1本しかないことに注意。
Q. なぜ「かつ」は掛け算で「または」は足し算なのですか？
A. 場合の数で考えるとわかりやすい。「AかつB」は「Aの場合の数」と「Bの場合の数」を組み合わせるので掛け算。「AまたはB」は「Aの場合」と「Bの場合」を合わせるので足し算（ただし重複を引く）。確率は「場合の数÷全体」なので、この性質がそのまま反映される。
練習問題
まとめ
この記事では、連続して起こる確率の求め方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 「AかつB」の確率は、$P(A) \times P(B)$ で求める
- この公式は、AとBが独立（互いに影響しない）場合に使える
- 「元に戻す」場合は独立試行、「戻さない」場合は確率が変わる
- 樹形図や表で全ての場合を書き出すと、なぜ掛け算になるか理解できる
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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