「確率の問題で、なぜ急に組み合わせの計算が出てくるのかわからない」と感じたことはないだろうか。
樹形図を描けば解ける問題も、選ぶ数が増えると書ききれなくなる。かといって組み合わせの公式を使おうとすると、どこにどう当てはめればいいのか迷ってしまう。
実は、確率と組み合わせは「場合の数を数える」という同じ土台の上にある。この関係さえつかめば、公式の使いどころが見えてくる。この記事では、組み合わせの考え方を確率の計算に応用できるようになるまで、順を追って解説する。
そもそも確率とは何か？
確率とは「ある出来事がどれくらい起こりやすいか」を数で表したものである。
場合の数とは、「何通りあるか」を数えた数のことである。例えば、サイコロを1回振るとき「1が出る」場合の数は1通り、「すべての目」の場合の数は6通りである。
つまり、確率を求めるには「分母」と「分子」の両方で場合の数を正確に数える必要がある。ここで組み合わせの考え方が役に立つ。
組み合わせとは何か？
組み合わせとは「順番を考えずに選ぶ方法」のことである。
例えば、A、B、Cの3人から2人を選ぶとき、選び方は次の3通りである。
- AとB
- AとC
- BとC
「AとB」と「BとA」は同じ組み合わせとして数える。順番が違うだけで、選んだ人は同じだからである。
n個の中からr個を選ぶ組み合わせの数は、次の記号で表す。
$n!$（nの階乗）は、nから1までの整数をすべてかけたものである。例えば $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ である。
3人から2人を選ぶ場合で確認してみよう。
先ほど数えた「3通り」と一致した。
確率と組み合わせの関係を図で理解する
確率の問題で組み合わせを使う場面を、視覚的に確認しよう。
上の図では、5個の玉から2個を選ぶ全ての組み合わせを表示している。
- 全ての選び方：$_5C_2 = 10$通り（分母）
- 赤玉2個を選ぶ方法：$_2C_2 = 1$通り（分子）
したがって、赤玉2個を選ぶ確率は $\dfrac{1}{10}$ である。
組み合わせを使った確率の求め方
「n個からr個選ぶ」状況を把握し、$_nC_r$ を計算する。これが確率の分母になる。
「その出来事が起こる」選び方が何通りあるか数える。これが確率の分子になる。
$\text{確率} = \dfrac{\text{条件を満たす場合の数}}{\text{全体の場合の数}}$ で求める。約分できれば約分する。
例題で手順を確認する
例題：袋の中に赤玉3個、白玉4個が入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。
解答
Step 1：全体の場合の数
玉の合計は $3 + 4 = 7$ 個である。この7個から2個を選ぶ組み合わせを求める。
$5!$ が分子と分母で約分されることがポイントである。
Step 2：条件を満たす場合の数
赤玉3個から2個を選ぶ組み合わせを求める。
Step 3：確率を計算
よって、2個とも赤玉である確率は $\dfrac{1}{7}$ である。
「少なくとも1つ」の確率
「少なくとも1つは○○」という条件の確率は、余事象を使うと計算しやすい。
余事象とは「その出来事が起こらない」場合のことである。「少なくとも1つ赤」の余事象は「1つも赤がない（全部白）」である。
例：先ほどの問題で「少なくとも1つは赤玉」の確率を求める。
全部白（赤が0個）の場合の数は、白玉4個から2個を選ぶ組み合わせである。
よって、
組み合わせの掛け算
「赤玉から1個、白玉から1個選ぶ」のように、複数のグループから選ぶ場合は組み合わせの掛け算を使う。
例：赤玉3個、白玉4個から2個選ぶとき、赤1個・白1個になる確率を求めよ。
よくある間違いと対策
順列（$_nP_r$）は順番を区別する、組み合わせ（$_nC_r$）は順番を区別しない。玉を「選ぶ」問題では、取り出す順番は関係ないので組み合わせを使う。
$_nC_r$ の公式で、$5!$ などの大きな数を計算するとミスしやすい。$\dfrac{7!}{2! \times 5!} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1}$ のように、共通部分を先に約分するとよい。
「条件を満たす場合の数」が分子、「全体の場合の数」が分母である。求めたい出来事が分子、と覚えておこう。
この単元のよくある質問
Q. 順列と組み合わせはどう使い分ければいいですか？
A. 「順番が関係あるか」で判断します。玉を「選ぶ」「取り出す」問題では順番は関係ないので組み合わせ（$_nC_r$）を使います。人を「並べる」「順位をつける」問題では順列（$_nP_r$）を使います。
Q. 組み合わせの計算で階乗を全部計算するのは大変です。簡単な方法はありますか？
A. $_nC_r = \dfrac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{r!}$ と変形すると、小さい数だけで計算できます。例えば $_7C_2 = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ のように、分子はr個の数だけ、分母はr!だけで済みます。
Q. 「少なくとも1つ」の問題で余事象を使う理由は何ですか？
A. 「少なくとも1つ」には「1つ」「2つ」「3つ」…と多くのパターンがあり、直接数えると大変です。余事象（1つもない場合）は1パターンだけなので計算が楽になります。
練習問題
まとめ
この記事では、組み合わせと確率の関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 確率 = 条件を満たす場合の数 ÷ 全体の場合の数
- 「順番を考えずに選ぶ」ときは組み合わせ $_nC_r$ を使う
- 「少なくとも1つ」は余事象で計算すると楽
- 複数グループから選ぶときは組み合わせの掛け算を使う
組み合わせは確率の土台となる考え方である。公式を暗記するだけでなく、「何通りあるか」を意識しながら問題に取り組もう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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