「サイコロで1か2が出る確率は？」と聞かれたとき、なんとなく $\dfrac{2}{6}$ と答えていないだろうか。
答えは合っている。しかし「なぜ足し算でいいのか」を説明できるだろうか。「1が出る確率」と「2が出る確率」を足しただけで本当に正しいのか、不安に感じたことはないだろうか。
実は、確率を足し算できるのには明確な条件がある。それを知らずに計算すると、複雑な問題で必ず間違える。この記事では「和の法則」と呼ばれるルールを、図解とアニメーションで完全に理解できるようにする。
そもそも「和の法則」とは？
和の法則とは、同時に起こらない2つの事柄について、どちらか一方が起こる確率を求めるルールである。
事柄とは「サイコロで1が出る」「コインで表が出る」のような、起こりうる出来事のことである。
具体的には、次の式で表される。
$P(A)$ は「事柄Aが起こる確率」を表す記号である。Pは英語のProbability（確率）の頭文字である。
ただし、この式には重要な条件がある。
条件：AとBは同時に起こらない
この「同時に起こらない」ことを、数学では「排反である」または「互いに排反である」と言う。
排反とは「お互いを排除し合う」という意味である。サイコロで「1が出る」と「2が出る」は、1回の試行で同時には起こらない。だから排反である。
具体例で確認しよう
サイコロを1回振るとき、「1が出る」または「2が出る」確率を求めてみよう。
まず、それぞれの確率を求める。
「1が出る」と「2が出る」は同時に起こらない（排反である）。
よって、和の法則が使えるので、足し算する。
和の法則を図で理解する
なぜ足し算でよいのか、図で確認しよう。下のアニメーションでは、サイコロの全ての目を円で表している。
図を見ると、「1が出る」の領域（赤）と「2が出る」の領域（青）は重なっていない。だから、単純に足し算できる。これが和の法則の本質である。
足し算できない場合とは？
では、足し算できない場合を見てみよう。「偶数が出る」または「4以上が出る」確率を考える。
このように、2つの事柄に共通部分がある（重なっている）場合は、単純な足し算では重複をカウントしてしまう。
この場合は「和の法則」ではなく、重なりを引く「加法定理」を使う。$P(A \text{ または } B) = P(A) + P(B) – P(A \text{ かつ } B)$ という式になる。これは高校で詳しく学ぶ。
和の法則を使う手順
和の法則を正しく使うための手順をまとめる。
2つの事柄が排反かどうか確認する
「同時に起こることはあるか？」と自問する。
排反ならば、それぞれの確率を求める
$P(A)$、$P(B)$ をそれぞれ計算する。
足し算して答えを出す
$P(A \text{ または } B) = P(A) + P(B)$
例題：トランプを使った問題
52枚のトランプから1枚引くとき、「ハートのA」または「スペードのA」を引く確率を求めよ。
排反かどうか確認する。
1枚のカードが「ハートのA」であり、かつ「スペードのA」であることはない。よって排反である。
それぞれの確率を求める。
和の法則を適用する。
答え：$\dfrac{1}{26}$
3つ以上の事柄にも使える
和の法則は、3つ以上の排反な事柄にも拡張できる。
ただし、全ての事柄が互いに排反（どの2つも同時に起こらない）である必要がある。
よくある間違いと対策
和の法則を使うとき、以下の点に注意しよう。
排反かどうかを確認しない
「偶数または6の倍数」のように、重なりがある場合に単純に足してしまう。
→ 必ず「同時に起こることはあるか？」と確認する。
「かつ」と「または」を混同する
「AかつB」は足し算ではなく、掛け算のルール（乗法定理）を使う場面が多い。
→ 問題文をよく読み、「または」なのか「かつ」なのかを見極める。
確率が1を超えても気づかない
確率は0以上1以下である。計算結果が1を超えたら、どこかで間違っている。
→ 答えが $\dfrac{7}{6}$ などになったら、排反でない可能性を疑う。
この単元のよくある質問
Q. 「排反」と「独立」は同じ意味ですか？
A. 違います。排反は「同時に起こらない」という意味で、独立は「一方の結果がもう一方に影響しない」という意味です。例えば、サイコロで「1が出る」と「2が出る」は排反ですが、サイコロを2回振るときの1回目と2回目は独立です。
Q. 和の法則はいつ使えますか？
A. 「どちらか一方が起こる確率」を求めるときで、かつ2つの事柄が同時に起こらない（排反である）場合に使えます。問題文に「または」「いずれか」という言葉があったら、和の法則を検討しましょう。
Q. 排反でない場合はどうすればいいですか？
A. 重なっている部分を引きます。式で書くと $P(A \text{ または } B) = P(A) + P(B) – P(A \text{ かつ } B)$ となります。これを「加法定理」といい、高校数学で詳しく学びます。
練習問題
まとめ
この記事では、確率の足し算（和の法則）について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 和の法則：排反な事柄の「どちらか一方が起こる確率」は、それぞれの確率を足す
- 排反とは「同時に起こらない」こと。図で表すと、領域が重なっていない状態
- 足し算する前に、必ず排反かどうかを確認する
- 確率の答えが1を超えたら、どこかで間違っている
和の法則は確率計算の基本中の基本である。この法則を使いこなせるようになれば、より複雑な確率の問題にも自信を持って取り組めるようになる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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