【二次方程式】因数分解による解き方（基本）【alg-quad-eq-002】【必須】

そもそも「二次方程式を因数分解で解く」とは？

二次方程式にじほうていしきとは、$x^2$ を含む方程式のことである。例えば $x^2 + 5x + 6 = 0$ のような式だ。

この方程式を「因数分解いんすうぶんかいで解く」とは、左辺を $(x + ○)(x + △) = 0$ の形に変形してから、$x$ の値を求める方法である。

因数分解いんすうぶんかいとは、式を「かけ算の形」に分解することである。例えば $x^2 + 5x + 6$ は $(x+2)(x+3)$ に分解できる。

なぜこの方法で解けるのか？それは、次の「黄金ルール」があるからだ。

因数分解で解くための「黄金ルール」

二次方程式を因数分解で解くために、たった1つだけ覚えてほしいルールがある。

これは「2つの数をかけて0になるなら、どちらかが0」という意味である。

例えば、$3 \times 0 = 0$ だし、$0 \times 7 = 0$ だ。逆に言えば、かけ算の答えが0になるのは、かけている数のどちらかが0のときだけである。

このルールは「零因子れいいんしの性質」と呼ばれる。難しい名前を覚える必要はなく、「かけて0 → どちらか0」とだけ覚えよう。

このルールを使えば、$(x+2)(x+3) = 0$ のような式から、すぐに $x$ の値が求められる。

黄金ルールを図で理解する

「かけて0になる → どちらかが0」というルールを、視覚的に確認してみよう。

このルールを方程式に当てはめると、次のようになる。

これは「$(x+2)$ と $(x+3)$ をかけて0」という意味だから、

のどちらかが成り立つ。それぞれを解けば、$x = -2$ または $x = -3$ と求まる。

因数分解で解く手順

ここからは、具体的な手順を見ていこう。

例題で手順を確認しよう

例題1：$x^2 + 5x + 6 = 0$

答え：$x = -2, -3$

二次方程式の解は、基本的に2つある。答えを書くときは「$x = -2, -3$」のようにカンマで区切って書く。

例題2：$x^2 – 7x + 12 = 0$

答え：$x = 3, 4$

例題3：$x^2 – 9 = 0$（定数項のみ）

この式には $x$ の項がない。しかし、因数分解で解ける。

答え：$x = \pm 3$

$x = 3, -3$ は $x = \pm 3$ と書くこともできる。$\pm$（プラスマイナス）は「プラスとマイナス両方」という意味である。

解き方の流れを図解で確認

因数分解で二次方程式を解く流れを、アニメーションで追ってみよう。

よくある間違いと対策

因数分解で二次方程式を解くとき、多くの人がつまずくポイントがある。先に知っておけば、同じミスを避けられる。

間違い1：符号を逆にしてしまう

$(x – 3)(x – 4) = 0$ を解くとき、

と書いてしまうミスが非常に多い。

正しくは：$x – 3 = 0$ → $x = 3$、$x – 4 = 0$ → $x = 4$

対策：「$(x – 3) = 0$ の形を見たら、$x = +3$」と覚える。引き算を足し算に直すイメージだ。

間違い2：解を1つしか書かない

$(x + 2)(x + 3) = 0$ を解いて、

で終わってしまうミス。

正しくは：$x = -2, -3$ と2つ書く。

対策：「二次方程式の解は2つ」と唱えてから答えを書く習慣をつけよう。

間違い3：因数分解を間違える

$x^2 + 5x + 6$ を $(x + 2)(x + 4)$ と因数分解してしまうミス。

確認方法：因数分解したら必ず「展開して元に戻るか」をチェックする。

対策：「足して○、掛けて△」の2つの条件を両方確認する。2と3なら、足して5、掛けて6。

この単元のよくある質問

練習問題