「二次方程式は解けるのに、文章題になると何をすればいいかわからない」——そんな経験はないだろうか。
特に「数に関する問題」は、問題文を読んでも式が立てられない、式を立てても答えが合わない、と悩む人が多い。
実は、この手の問題には決まったパターンがある。「何を $x$ とおくか」さえ間違えなければ、あとは機械的に式を組み立てるだけである。この記事では、数に関する問題を確実に解けるようになるまで、手順を1つずつ確認していく。
そもそも「数に関する問題」とは？
数に関する問題とは、整数や連続する数について、その関係を二次方程式で表して解く問題である。
整数とは、$\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots$ のように、小数や分数を含まない数のことである。
具体的には、次のような問題が出題される。
- ある整数とその2乗の関係
- 連続する整数の積や和
- 2つの数の和と積の関係
例えば「ある正の整数を2乗した数は、もとの数の5倍より6大きい。この整数を求めよ。」という問題では、
- 「ある正の整数」を $x$ とおく
- 「2乗した数」は $x^2$
- 「もとの数の5倍より6大きい」は $5x + 6$
これらが等しいので、$x^2 = 5x + 6$ という方程式ができる。
問題を解く手順を図で理解する
数に関する問題は、次の4ステップで解ける。この流れを視覚的に確認しよう。
このように、問題を解く流れは決まっている。特に大切なのは Step 1 と Step 4 である。何を $x$ とおくかを間違えると式が立てられないし、最後に条件を確認しないと誤答になる。
パターン別の解き方
数に関する問題には、いくつかの定番パターンがある。それぞれの「$x$ のおき方」を覚えておこう。
パターン1：ある整数とその2乗
Step 1：何を $x$ とおくか
求めたい「ある正の整数」を $x$ とおく。
Step 2：関係を式に表す
- 2乗した数 → $x^2$
- もとの数の5倍より6大きい → $5x + 6$
これらが等しいので、
Step 3：方程式を解く
Step 4：条件を確認
問題は「正の整数」を求めているので、$x = -1$ は不適。
よって、答えは 6 である。
因数分解のコツ：$x^2 – 5x – 6 = 0$ では、かけて $-6$、たして $-5$ になる2数を探す。$-6$ と $1$ がそれにあたる。
パターン2：連続する整数
Step 1：何を $x$ とおくか
連続する2つの整数なので、小さい方を $x$ とおくと、大きい方は $x + 1$ と表せる。
連続する整数の表し方：連続する2つの整数は $x, x+1$。連続する3つの整数は $x, x+1, x+2$ または $x-1, x, x+1$ と表す。
Step 2：関係を式に表す
それぞれを2乗した数の和が85なので、
Step 3：方程式を解く
両辺を2で割って計算を簡単にしている。係数が大きいときは、共通因数でくくれないか確認しよう。
Step 4：条件を確認
$x$ は正の整数なので、$x = -7$ は不適。$x = 6$ のとき、もう一方は $x + 1 = 7$。
確かめ：$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$ ✓
よって、答えは 6と7 である。
パターン3：2つの数の和と積
Step 1：何を $x$ とおくか
一方の整数を $x$ とおくと、和が10なので、もう一方は $10 – x$ と表せる。
Step 2：関係を式に表す
積が21なので、
Step 3：方程式を解く
$-x^2$ のままだと因数分解しにくいので、両辺に $-1$ をかけて $x^2$ の係数を正にしている。
Step 4：条件を確認
$x = 3$ のとき、もう一方は $10 – 3 = 7$。$x = 7$ のとき、もう一方は $10 – 7 = 3$。
どちらも同じ組み合わせなので、答えは 3と7 である。
よくある間違いと対策
対策のポイント
「正の整数」「自然数」「負の数」など、条件を再確認する。
「〜より大きい」は足し算、「〜より小さい」は引き算。「〜の2乗」は $x^2$。
$(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ を正確に使う。
よくある質問と答え
Q. 「ある整数」と「ある正の整数」は何が違うの？
A. 「ある整数」は負の数も0も含むが、「ある正の整数」は1以上の整数だけを指す。最後に解を選ぶとき、この条件に合わないものは除外する必要がある。
Q. 連続する整数を $x-1, x, x+1$ とおくのと $x, x+1, x+2$ とおくのはどちらが正しい？
A. どちらも正しい。ただし、3つの連続する整数の真ん中を $x$ とおく（$x-1, x, x+1$）と、和を求めるときに $3x$ となり計算が楽になることが多い。
Q. 2つの解が両方とも条件を満たすことはある？
A. ある。例えば「和と積」の問題では、2つの解がそのまま求める2つの数になることが多い。問題をよく読んで判断しよう。
練習問題
まとめ
この記事では、二次方程式を使った「数に関する問題」の解き方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- Step 1：何を $x$ とおくかを決める（連続する整数は $x, x+1$ など）
- Step 2：問題文の条件を式に表す（日本語→数式の変換を丁寧に）
- Step 3：方程式を解く（因数分解または解の公式）
- Step 4：条件を確認して答える（正の整数、自然数などに注意）
パターンを覚えて繰り返し練習すれば、この手の問題は確実に得点源になる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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