「直線と平面の位置関係を答えよ」と言われて、何を見ればいいのかわからなくなったことはないだろうか。
「平行」「交わる」「ねじれの位置」——この3つの言葉は聞いたことがあるのに、実際の図形を見ると迷ってしまう。特に「ねじれの位置」は、平面図形には存在しない空間図形だけの概念であり、イメージしにくいのは当然である。
原因は、3つの位置関係を「どうやって見分けるか」という判定手順を知らないことにある。この記事では、立方体を使った具体例と3Dアニメーションで、位置関係の判定方法を身につけていく。
そもそも「位置関係」とは？
空間図形において、2つの直線や、直線と平面には、いくつかの「配置のパターン」がある。このパターンのことを位置関係と呼ぶ。
位置関係とは、2つの図形がどのような配置になっているかを表す言葉である。平面図形では「平行」「交わる」の2パターンだが、空間図形ではもう1パターン増える。
2直線の位置関係（3パターン）
空間における2つの直線の位置関係は、次の3つである。
「ねじれの位置」は空間図形だけに存在する。平面上の2直線は、必ず「交わる」か「平行」のどちらかである。
直線と平面の位置関係（3パターン）
直線と平面の位置関係も3つある。
位置関係を図で理解する
立方体を使って、それぞれの位置関係を確認しよう。まず、立方体の頂点と辺の名前を覚えておく。
2直線の位置関係を見分ける
立方体で、辺ABを基準に他の辺との位置関係を確認しよう。
アニメーションで3つの位置関係を確認した。整理すると以下の通りである。
| 辺ABとの関係 | 位置関係 | 理由 |
|---|---|---|
| 辺AE | 交わる | 点Aで交差している |
| 辺EF | 平行 | 同じ平面（面ABFE）上にあり、交わらない |
| 辺CG | ねじれの位置 | 同じ平面上になく、交わらない |
ねじれの位置を判定する方法
「ねじれの位置」かどうかを判定するには、次の2つを順番に確認する。
両方とも「いいえ」なら、ねじれの位置である。
直線と平面の位置関係を見分ける
次に、直線と平面の位置関係を確認しよう。底面ABCDを基準にする。
整理すると以下の通りである。
| 底面ABCDとの関係 | 位置関係 | 理由 |
|---|---|---|
| 直線AB | 含まれる | 直線全体が底面上にある |
| 直線EF | 平行 | 底面と交わらない |
| 直線AE | 交わる | 点Aで底面を貫いている |
位置関係の判定手順
問題を解くときの手順を確認しよう。
2直線の位置関係を答える手順
「同じ平面上にあるか」を確認するには、立方体の面を思い浮かべるとよい。例えば、辺ABと辺EFはどちらも面ABFEに含まれるので、同じ平面上にある。
直線と平面の位置関係を答える手順
例題で確認する
立方体ABCD-EFGHについて、次の位置関係を答えよ。
(1) 辺ABと辺HGの位置関係
(2) 辺ABと辺CGの位置関係
(3) 辺AEと面BFGC の位置関係
よくある間違いと対策
対策：必ず「同じ平面上にあるか」を確認する。立方体のどの面にも両方の直線が含まれないなら、ねじれの位置である。
対策：直線を延長したとき交わるかどうかも確認する。辺の端点だけでなく、延長線上での交点も考える。
対策：直線と平面の位置関係では、直線が平面の一部になっているケースを最初に確認する。
この単元のよくある質問
Q. ねじれの位置とは何が「ねじれている」のですか？
A. 2つの直線を同じ平面上に置こうとしても置けない状態を「ねじれている」と表現している。平面上の2直線は必ず平行か交わるかのどちらかだが、空間では「どちらでもない」配置が可能になる。
Q. 「同じ平面上にある」かどうか、どうやって判断しますか？
A. 立方体の問題では、6つの面（上面、底面、前面、背面、左面、右面）のどれかに2つの直線が両方含まれているか確認する。どの面にも両方含まれなければ、同じ平面上にない。
Q. 直線と平面で「ねじれの位置」はないのですか？
A. ない。「ねじれの位置」は2つの直線の間だけの関係である。直線と平面では「交わる」「平行」「含まれる」の3パターンしかない。
練習問題
まとめ
この記事では、空間図形における直線と平面の位置関係について学んだ。
- 2直線の位置関係：「交わる」「平行」「ねじれの位置」の3パターン
- 直線と平面の位置関係：「交わる」「平行」「含まれる」の3パターン
- ねじれの位置の判定：「交わらない」かつ「同じ平面上にない」
立方体を使った問題では、どの面に直線が含まれるかを意識することで判定しやすくなる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント