「球の体積を求めよ」という問題で、公式は覚えているのに計算でミスをしてしまう。そんな経験はないだろうか。
球の体積公式には分数の $\dfrac{4}{3}$ が含まれるため、計算の順番を間違えると答えがずれてしまう。特に、$r^3$ を先に計算してから $\dfrac{4}{3}$ を掛けるべきところを、途中で約分しようとして混乱するケースが多い。
実は、計算の手順さえ決めてしまえば、球の体積は毎回同じ流れで求められる。この記事では、公式の意味から計算手順まで、順を追って解説する。
そもそも球とは？
球とは、ある点から等しい距離にある点の集まりが作る立体である。その「ある点」を中心、中心から表面までの距離を半径という。
身近な例でいえば、サッカーボールや地球儀が球の形をしている。どこから見ても丸く見えるのが球の特徴である。
球には「底面」や「高さ」という概念がない。そのため、円柱や円錐とは異なる公式を使う。
球の体積の公式
球の体積を求める公式は次の通りである。
ここで、
- $V$ は体積
- $\pi$ は円周率（約3.14）
- $r$ は球の半径
$r^3$ は「$r$ の3乗」と読む。$r \times r \times r$ のことである。半径を3回掛け算するのは、体積が「縦×横×高さ」のような3方向の長さに関係するからである。
球の体積を図で理解する
球の体積公式がどこから来るのか、視覚的に確認しよう。下のアニメーションでは、半径 $r$ の球を表示している。
アニメーションでは、まず球の全体像を表示し、次に中心 $O$ と半径 $r$ を示している。この半径 $r$ を公式に代入することで、体積が求まる。
球の体積を求める手順
実際に計算する流れを確認しよう。半径 $r = 3$ cm の球の体積を求める。
公式を書く
半径を代入する
$r = 3$ を代入する。
$r^3$ を計算する
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
分数と整数を掛ける
$\dfrac{4}{3} \times 27 = \dfrac{4 \times 27}{3} = \dfrac{108}{3} = 36$
答えを書く
問題で「$\pi$ を使って答えよ」とあれば $36\pi$ cm³、「小数で答えよ」とあれば $36 \times 3.14 = 113.04$ cm³ と書く。
計算のコツ：約分を活用する
分数 $\dfrac{4}{3}$ と $r^3$ の計算では、約分できる場合がある。これを使うと計算が楽になる。
例：半径 $r = 6$ cm の場合
$216 \div 3 = 72$ と先に約分してから $4 \times 72 = 288$ と計算すると、暗算でも求めやすい。
よくある間違いと対策
$r^2$ と $r^3$ を間違える
球の体積は $r^3$（3乗）、球の表面積は $r^2$（2乗）である。「体積は立体だから3乗」と覚えておこう。
$\dfrac{4}{3}$ を $\dfrac{3}{4}$ と書き間違える
「4が上、3が下」と声に出して確認する習慣をつけよう。
直径を半径と勘違いする
問題文で「直径 $d$」と書かれていたら、$r = \dfrac{d}{2}$ と変換してから公式に代入する。
この単元のよくある質問
Q. なぜ係数が $\dfrac{4}{3}$ なのですか？
A. 球を無限に薄くスライスして積み重ねる積分という計算で導かれる。中学では公式として覚えておけばよい。高校数学で詳しく学ぶ。
Q. 半球の体積はどう求めますか？
A. 球の体積を2で割ればよい。$V = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ となる。
Q. 答えに $\pi$ を残してよいのですか？
A. 問題の指示による。「$\pi$ を用いて表せ」なら $36\pi$ cm³ のように残す。「小数で答えよ」や「$\pi = 3.14$ として計算せよ」なら数値に直す。
練習問題
まとめ
この記事では、球の体積について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 球の体積の公式は $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
- 計算は「$r^3$ を先に求める → $\dfrac{4}{3}$ を掛ける」の順番で行う
- 直径が与えられたら、半径に直してから代入する
- $\dfrac{4}{3}$ と $r^3$ で約分できる場合は活用すると楽になる
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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