「体積の公式は覚えたのに、どれを使えばいいかわからない」——そんな経験はないだろうか。
立体の体積を求める問題で手が止まる原因は、意外とシンプルである。実は「どんな形の底面か」を見極めるだけで、あとは同じ公式が使えるのだ。
この記事では、角柱と円柱の体積を「底面積×高さ」の一つの考え方で確実に求められるようになるまで、順を追って解説する。
そもそも角柱・円柱とは？
まず、角柱と円柱がどんな立体かを確認しよう。
角柱とは、2つの合同な多角形が平行に向かい合い、その間を長方形でつないだ立体である。
「多角形」とは、三角形、四角形、五角形などのことである。底面の形によって「三角柱」「四角柱」「五角柱」と呼び分ける。
円柱とは、2つの合同な円が平行に向かい合い、その間を曲面でつないだ立体である。
どちらも共通しているのは、上と下に同じ形の「底面」があり、それが一定の「高さ」で積み上がっているということだ。
「底面」とは、立体の上下にある平らな面のことである。角柱なら多角形、円柱なら円が底面になる。
体積の公式を図で理解する
角柱と円柱の体積は、どちらも同じ公式で求められる。
なぜこの公式が成り立つのか、図で確認しよう。
アニメーションの説明：底面積 $S$ を高さ $h$ の分だけ積み上げると、角柱ができる。だから体積は $S \times h$ になるのだ。
円柱も同じ考え方である。底面が円になっただけで、公式は変わらない。
ポイント：円柱の底面積は円の面積 $\pi r^2$ である。これに高さ $h$ をかければ体積が出る。
公式のまとめ
角柱と円柱の体積公式を整理しよう。
| 立体 | 底面積 | 体積の公式 |
|---|---|---|
| 角柱（三角柱、四角柱など） | 底面の多角形の面積 $S$ | $V = S \times h$ |
| 円柱 | $\pi r^2$（円の面積） | $V = \pi r^2 h$ |
$r$ は底面の円の半径、$h$ は高さを表す。$\pi$（パイ）は円周率で、約 $3.14$ である。
体積を求める手順
実際に体積を求めるときは、次の3ステップで進める。
底面が三角形か、四角形か、円かを見極める。
底面の形に応じた公式で面積を求める。
求めた底面積に高さをかけて体積を出す。
例題1：三角柱の体積
問題：底面が直角三角形（底辺6cm、高さ4cm）で、高さが10cmの三角柱の体積を求めよ。
解答
ステップ1：底面は直角三角形である。
ステップ2：底面積を求める。
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」で求める。
ステップ3：体積を求める。
答え：$120 \text{ cm}^3$
例題2：円柱の体積
問題：底面の半径が3cm、高さが8cmの円柱の体積を求めよ。
解答
ステップ1：底面は円である。
ステップ2：底面積を求める。
円の面積は $\pi r^2$（円周率×半径×半径）で求める。
ステップ3：体積を求める。
答え：$72\pi \text{ cm}^3$
$\pi$ を $3.14$ として計算する場合は、$72 \times 3.14 = 226.08 \text{ cm}^3$ となる。問題の指示に従って答えよう。
例題3：四角柱の体積
問題：底面が1辺5cmの正方形で、高さが7cmの四角柱の体積を求めよ。
解答
ステップ1：底面は正方形である。
ステップ2：底面積を求める。
ステップ3：体積を求める。
答え：$175 \text{ cm}^3$
よくある間違いと対策
「底面積×高さ」の公式で、底面積の部分に辺の長さをそのまま入れてしまうミスが多い。必ず底面積を先に計算しよう。
問題文に「直径6cm」と書いてあるのに、そのまま $6^2$ として計算してしまう。半径は直径の半分なので、$r = 3$ として計算すること。
体積の単位は「cm³」（立方センチメートル）である。面積の「cm²」と混同しないように注意。
この単元のよくある質問
Q. なぜ角柱と円柱は同じ公式で体積が求められるのですか？
A. どちらも「同じ形の底面が一定の高さで積み重なった立体」だからである。底面の形が三角形でも四角形でも円でも、「底面積を高さの分だけ積み上げる」という考え方は同じなのだ。
Q. 円柱の体積で $\pi$ をつけたまま答えてもいいのですか？
A. 問題の指示による。「$\pi$ を使って答えよ」とあれば $72\pi \text{ cm}^3$ のように答え、「小数で答えよ」や「$\pi = 3.14$ として計算せよ」とあれば計算して数値で答える。指示がなければ $\pi$ のまま答えるのが一般的である。
Q. 底面積を求める公式を忘れてしまいました。
A. 主な底面積の公式は次の通りである。三角形：$\dfrac{\text{底辺} \times \text{高さ}}{2}$、長方形：$\text{縦} \times \text{横}$、正方形：$\text{一辺}^2$、円：$\pi r^2$。これらを覚えておけば、角柱・円柱の体積は「底面積×高さ」で求められる。
練習問題
まとめ
この記事では、角柱と円柱の体積の求め方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 角柱も円柱も、体積は「底面積×高さ」で求められる
- まず底面の形を確認し、底面積を計算してから高さをかける
- 円柱の底面積は $\pi r^2$（円の面積）である
- 半径と直径を間違えないように注意する
底面積さえ求められれば、あとは高さをかけるだけ。この手順を身につければ、どんな角柱・円柱でも体積が求められる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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