「表面積を求めなさい」と言われて、何をどう足せばいいのか迷ったことはないだろうか。
展開図を描いても、どこが底面でどこが側面なのかわからない。公式を覚えても、数字をどこに当てはめるのかピンとこない。そんな経験をした人は多いはずだ。
実は、表面積の問題でつまずく原因は「立体を分解して考える」という発想が抜けているだけである。この記事では、角柱と円柱の表面積を「底面積」と「側面積」に分けて求める方法を、図解とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも表面積とは？
表面積とは、立体の表面全体の面積のことである。
例えば、プレゼントの箱を包装紙で包むとき、必要な紙の大きさを考えることがあるだろう。箱のすべての面を覆うために必要な面積、それが表面積である。
立体とは、平面ではなく空間に広がりを持つ図形のことである。箱や缶、ボールなどはすべて立体である。
表面積を求めるには、立体を展開図にして考えると分かりやすい。展開図にすれば、すべての面が平面上に広がるため、それぞれの面積を計算して合計すればよい。
角柱と円柱の構造を確認する
角柱と円柱は、どちらも「柱」という名前がつく立体である。
これらの立体には共通の構造がある。
- 底面：上と下にある2つの面（同じ形、同じ大きさ）
- 側面：底面をつなぐ周りの面
角柱の底面は多角形（三角形、四角形、五角形など）、円柱の底面は円である。
つまり、表面積を求める公式は次のようになる。
底面は上下に2つあるので「底面積 $\times 2$」となることに注意しよう。
角柱と円柱の構造を図で理解する
まず、三角柱の構造を見てみよう。アニメーションで展開図に分解される様子を確認できる。
三角柱を展開すると、2つの三角形（底面）と3つの長方形（側面）に分かれることがわかる。
次に、円柱の構造を確認しよう。
円柱を展開すると、2つの円（底面）と1つの長方形（側面）に分かれる。
円柱の側面を展開した長方形の横の長さは、底面の円周と等しい。これは側面が底面の周りをぐるりと囲んでいるからである。
角柱の表面積の求め方
角柱の表面積を求める手順を、三角柱を例に解説する。
例題：三角柱の表面積
底面が直角三角形（底辺4cm、高さ3cm、斜辺5cm）で、高さが6cmの三角柱の表面積を求めよ。
底面積を求める
底面は直角三角形なので、三角形の面積の公式を使う。
側面積を求める
側面は3つの長方形からなる。それぞれの面積を求めて合計する。
表面積を求める
底面積×2と側面積を合計する。
側面積は、3つの長方形を別々に計算してもよいが、「底面の周の長さ × 柱の高さ」でまとめて計算することもできる。この例では $(4+3+5) \times 6 = 12 \times 6 = 72$ となる。
円柱の表面積の求め方
円柱の表面積を求める手順を解説する。
例題：円柱の表面積
底面の半径が3cm、高さが5cmの円柱の表面積を求めよ。ただし、円周率は $\pi$ とする。
底面積を求める
底面は円なので、円の面積の公式を使う。
側面積を求める
側面を展開すると長方形になる。この長方形の横の長さは、底面の円周に等しい。
表面積を求める
底面積×2と側面積を合計する。
円柱の表面積の公式
円柱の表面積は、次の公式でまとめられる。
ここで、$r$ は底面の半径、$h$ は円柱の高さである。
この公式は「底面積 $\times 2$ + 側面積」を文字で表したものである。$2\pi r^2$ が底面積×2、$2\pi rh$ が側面積（円周 $\times$ 高さ）に対応している。
側面積をまとめて計算する方法
角柱の側面積は、展開図で見ると1つの大きな長方形になることがある。
角柱の側面積は、次の式でまとめて計算できる。
この公式を使えば、側面を1つずつ計算しなくてもよい。
よくある間違いと対策
表面積の問題でよくある間違いを確認しよう。
底面を1回しか数えない
底面は上と下の2つあるので、必ず「底面積 $\times 2$」とする。1回しか数えないと、表面積が小さくなってしまう。
円柱の側面の横の長さを間違える
円柱の側面を展開した長方形の横の長さは、直径ではなく円周である。$2\pi r$（円周）と $2r$（直径）を混同しないこと。
底面積と側面積を混同する
底面積は「底面の形の面積」、側面積は「周りの面の面積」である。底面が三角形なら三角形の面積を求め、側面は長方形の面積を求める。それぞれ別々に計算すること。
この単元のよくある質問
Q. 角柱と円柱以外にも、同じ公式が使えますか？
A. 角錐や円錐では、この公式はそのまま使えない。錐体は底面が1つしかなく、側面の形も異なるためである。ただし、「底面積 + 側面積」という考え方自体は同じである。
Q. 展開図を描かなくても表面積は求められますか？
A. 公式を覚えていれば、展開図を描かなくても計算できる。ただし、慣れないうちは展開図を描いて、どの面の面積を求めているのか確認しながら計算することをおすすめする。
Q. 側面積を「底面の周 × 高さ」で求める方法と、1つずつ計算する方法、どちらがいいですか？
A. どちらでも正解にたどり着ける。計算ミスを減らしたいなら「底面の周 × 高さ」でまとめて計算する方が楽である。ただし、問題によっては1つずつ求める方が分かりやすい場合もあるので、両方の方法を覚えておくとよい。
練習問題
まとめ
この記事では、角柱と円柱の表面積の求め方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 表面積 = 底面積 × 2 + 側面積
- 底面は上と下の2つあるので、必ず2倍する
- 円柱の側面を展開した長方形の横の長さは、底面の円周に等しい
- 角柱の側面積は「底面の周の長さ × 高さ」でまとめて計算できる
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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