「直線と平面が垂直」と聞いて、なんとなくわかった気になっていないだろうか。
図を見れば垂直に見えるけれど、「なぜ垂直といえるのか」と聞かれると答えに詰まる。テストで「垂直であることを説明せよ」という問題が出ると、何を書けばいいかわからない。そんな経験はないだろうか。
実は、直線と平面の垂直には明確な条件がある。この条件さえ押さえれば、「なんとなく垂直」から「確実に垂直」へと理解が変わる。この記事では、直線と平面の垂直の意味と、垂線の考え方を図解とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも「直線と平面が垂直」とは？
まず、平面上の2本の直線が垂直な場合を思い出そう。2本の直線が交わってできる角が $90°$ のとき、「垂直である」という。
では、直線と平面が垂直とはどういう状態だろうか。
垂直とは、2つのものが直角（$90°$）に交わっている状態のことである。記号では $\perp$ と書く。
直線と平面が垂直であるとは、次の条件を満たすことである。
直線 $\ell$ が平面 $P$ と1点で交わり、その交点を通る平面上のすべての直線と垂直であるとき、「直線 $\ell$ は平面 $P$ に垂直である」という。
ここで重要なのは「すべての直線」という部分である。平面上には無数の直線が引ける。その無数の直線すべてと垂直でなければ、直線と平面が垂直とはいえないのである。
直線 $\ell$ が平面 $P$ に垂直であるとき、$\ell \perp P$ と書く。
垂直を図で理解する
「すべての直線と垂直」といわれても、イメージしにくいかもしれない。アニメーションで確認してみよう。
アニメーションを見ると、直線 $\ell$ が平面 $P$ 上のいろいろな方向の直線と、すべて $90°$ で交わっていることがわかる。これが「直線と平面が垂直」という状態である。
垂直を判定する方法
「すべての直線と垂直」を確かめるのは大変そうに思えるかもしれない。しかし、実際には次の条件を使えば十分である。
直線 $\ell$ が平面 $P$ 上の交わる2本の直線と垂直ならば、直線 $\ell$ は平面 $P$ に垂直である。
つまり、無数にある直線のうち、たった2本と垂直であることを示せばよいのである。ただし、その2本は平行ではなく、交わっていなければならない。
アニメーションのように、直線 $\ell$ が平面上の直線 $m$ と直線 $n$（この2本は点Oで交わっている）の両方と垂直であれば、$\ell$ は平面 $P$ に垂直といえる。
垂線とは
直線と平面の垂直を使った重要な概念に「垂線」がある。
点Aから平面 $P$ に垂直な直線を引いたとき、その直線を点Aから平面 $P$ への垂線という。また、垂線と平面の交点を垂線の足という。
垂線の足Hは、点Aから平面 $P$ に最も近い点である。これは、点と平面の距離を考えるときに重要になる。
具体例で確認しよう
身近な例で考えてみよう。
例1：教室の床と壁
教室の床（平面）と壁が交わる部分（稜）を考える。壁と床は垂直になっている。つまり、壁に沿った直線は床という平面に垂直である。
例2：直方体の辺
直方体では、縦の辺（例えば辺AE）は底面ABCDに垂直である。これは、辺AEが底面上の辺ABとも辺ADとも垂直だからである。辺ABと辺ADは点Aで交わる2本の直線なので、判定条件を満たす。
よくある間違いと対策
「見た目が垂直だから垂直」と判断してしまう
対策：必ず「平面上の交わる2本の直線と垂直」という条件を確認する。図だけで判断せず、論理的に確かめよう。
平行な2本の直線で判定してしまう
対策：判定に使う2本の直線は、必ず交わっていなければならない。平行な直線では判定できないので注意。
垂線と垂線の足を混同する
対策：垂線は「線」であり、垂線の足は「点」である。問題文でどちらを聞かれているか確認しよう。
この単元のよくある質問
Q. なぜ2本の直線と垂直なら、すべての直線と垂直といえるのですか？
A. 平面上の任意の直線は、交わる2本の直線の「組み合わせ」で表すことができる。2本の基準となる直線と垂直であれば、それらを組み合わせたどんな方向の直線とも垂直になることが数学的に証明されている。
Q. 垂線は1本だけですか？
A. 1つの点から1つの平面への垂線は、必ず1本だけである。もし2本以上引けたら、平面上の直線との角度が $90°$ にならない矛盾が生じる。
Q. 点が平面上にあるときも垂線は引けますか？
A. 引ける。点が平面上にあるとき、その点を通り平面に垂直な直線が垂線となる。この場合、垂線の足は元の点自身になる。
練習問題
直線 $\ell$ が平面 $P$ 上の（ ① ）2本の直線と垂直ならば、直線 $\ell$ は平面 $P$ に垂直である。
まとめ
この記事では、直線と平面の垂直について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 直線が平面に垂直とは、平面上のすべての直線と $90°$ で交わること
- 判定には「平面上の交わる2本の直線と垂直」を確認すればよい
- 点から平面への垂線は1本だけ存在し、その交点を垂線の足という
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント