「相似な図形を見つけなさい」と言われて、どこを見ればいいのか迷ったことはないだろうか。
拡大・縮小の関係にある図形を「相似」と呼ぶことは知っていても、いざ証明問題になると「何を示せばいいのか」がわからなくなる。実は、三角形が相似かどうかを判断するには、たった3つの条件を覚えるだけでよいのである。
この記事では、三角形の相似条件を図解とアニメーションで確認し、どの条件をどう使うかを順を追って解説する。
そもそも「相似」とは？
2つの図形が相似であるとは、一方を拡大または縮小すると、もう一方とぴったり重なる関係のことである。
「合同」は大きさも形も同じ図形のことだった。相似は「形は同じだが、大きさは違ってもよい」という関係である。コピー機で拡大・縮小した関係と考えるとわかりやすい。
相似な図形には、次の性質がある。
- 対応する角はすべて等しい
- 対応する辺の比はすべて等しい
三角形ABCと三角形DEFが相似であるとき、記号「∽」を使って次のように書く。
「∽」は「相似」を表す記号である。合同の記号「≡」と区別しよう。
三角形の相似条件（3つ）
三角形が相似であることを証明するには、以下の3つの条件のうち、どれか1つが成り立つことを示せばよい。
3組の辺の比がすべて等しい
対応する3組の辺の長さの比が同じなら、2つの三角形は相似である。
2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
2組の辺の長さの比が同じで、さらにその2辺に挟まれた角が等しいなら、相似である。
2組の角がそれぞれ等しい
2組の角が等しいなら、残りの1組の角も自動的に等しくなるため、相似である。
合同条件は5つあったが、相似条件は3つしかない。相似は「大きさ」を問わないので、条件がシンプルになるのである。
相似条件を図で理解する
3つの条件を、それぞれ図で確認しよう。下のアニメーションでは、小さい三角形を拡大すると大きい三角形とぴったり重なることが視覚的にわかる。
条件1：3組の辺の比がすべて等しい
△ABCと△DEFで、辺の比を確認すると、
3組すべての辺の比が $2:3$ で等しいので、△ABC ∽ △DEF である。
条件2：2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
△ABCと△DEFで、
- AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3
- AC : DF = 3.5 : 5.25 = 2 : 3
- ∠A = ∠D = 60°（2辺に挟まれた角）
2組の辺の比が等しく、その間の角が等しいので、△ABC ∽ △DEF である。
条件3：2組の角がそれぞれ等しい
△ABCと△DEFで、
- ∠A = ∠D = 50°
- ∠B = ∠E = 70°
2組の角がそれぞれ等しいので、△ABC ∽ △DEF である。
三角形の内角の和は180°なので、2組の角が等しければ、残り1組の角も自動的に等しくなる。そのため「2組」で十分なのである。
相似条件の使い分け
証明問題で「どの条件を使えばいいか」迷ったときは、次のように考えるとよい。
| 問題で与えられている情報 | 使う条件 |
|---|---|
| 辺の長さだけ | 条件1（3組の辺の比） |
| 辺の長さ + 角度 | 条件2（2辺比 + 挟角） |
| 角度だけ | 条件3（2組の角） |
| 平行線がある | 条件3が使えることが多い（錯角・同位角） |
実際の入試問題では、条件3「2組の角がそれぞれ等しい」が最も頻出である。平行線から錯角・同位角を見つけて角が等しいことを示すパターンが多いからだ。
例題で手順を確認する
実際の証明問題で、相似条件をどう使うか確認しよう。
問題：△ABCで、DE // BC のとき、△ADE ∽ △ABC を証明せよ。
まず、共通な角を見つける。
∠A は △ADE と △ABC で共通である。
次に、平行線による等しい角を見つける。
DE // BC より、同位角が等しいので、
∠ADE = ∠ABC
2組の角が等しいことを示す。
∠A = ∠A（共通）、∠ADE = ∠ABC（同位角）
相似条件を適用して結論を書く。
2組の角がそれぞれ等しいので、△ADE ∽ △ABC
証明の答案では「△ADE と △ABC において」と書き始め、最後に「よって △ADE ∽ △ABC」と結ぶのが定型である。
よくある間違いと対策
「2辺の比が等しい」だけで相似と判断してしまう
条件2は「2辺の比 + その間の角」の3点セットである。辺の比だけでは相似とは言えない。必ず「挟まれた角」が等しいことも確認しよう。
対応する頂点の順番を間違える
△ABC ∽ △DEF と書くとき、A と D、B と E、C と F がそれぞれ対応する。順番を間違えると、辺や角の対応もすべてずれてしまう。
合同条件と混同する
合同条件には「1辺とその両端の角」があるが、相似条件にはない。相似では「2組の角」だけで十分である（辺は不要）。条件を混同しないように注意しよう。
この単元のよくある質問
Q. 相似条件が3つしかないのはなぜですか？
A. 相似は「形が同じ」であればよく、「大きさ」は問わないからである。合同では大きさも一致させる必要があるため条件が多くなるが、相似では辺の「比」だけを見ればよいので、条件がシンプルになる。
Q. 「2組の角が等しい」とき、3組目も自動的に等しくなるのはなぜですか？
A. 三角形の内角の和は必ず180°だからである。例えば、2組の角がそれぞれ50°と70°で等しければ、残りの角は両方とも 180° − 50° − 70° = 60° となり、自動的に等しくなる。
Q. 相似比とは何ですか？
A. 相似な図形の対応する辺の長さの比のことである。例えば △ABC ∽ △DEF で AB : DE = 2 : 3 なら、相似比は 2 : 3 である。すべての対応する辺がこの比になる。
練習問題
まとめ
この記事では、三角形の相似条件について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 条件1：3組の辺の比がすべて等しい
- 条件2：2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
- 条件3：2組の角がそれぞれ等しい（最頻出）
証明問題では、問題文で与えられた情報（辺の長さか、角度か、平行線か）から、使う条件を選ぶことが大切である。特に平行線があるときは、錯角・同位角から角が等しいことを示し、条件3を使うパターンが多い。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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