「三角形の合同条件を3つ覚えなさい」と言われて、暗記したつもりなのに、いざ問題を解こうとすると「どれを使えばいいかわからない」と固まってしまった経験はないだろうか。
実は、合同条件を丸暗記している人ほど、この壁にぶつかりやすい。なぜなら「なぜその条件で合同といえるのか」を理解していないからである。
この記事では、3つの合同条件を「なぜそれで形が決まるのか」という視点から順番に解説する。読み終わるころには、条件を見た瞬間に「これは2辺夾角だ」と判断できるようになっているはずである。
そもそも「合同」とは？
2つの図形が合同であるとは、形も大きさも完全に同じということである。一方をぴったり重ねることができれば、その2つは合同である。
「合同」の「合」は「合わせる」、「同」は「同じ」という意味である。つまり「合わせたら同じ」ということだ。
合同な三角形では、次のことが成り立つ。
- 対応する辺の長さがすべて等しい
- 対応する角の大きさがすべて等しい
記号では、$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ のように書く。
「$\equiv$」は合同を表す記号である。「イコール」に横線が1本多いと覚えよう。
このとき、頂点の順番が対応関係を表す。つまり、Aに対応するのがD、Bに対応するのがE、Cに対応するのがFである。
合同条件を図で理解する
三角形の合同条件は3つある。まずは視覚的に「なぜその条件で形が決まるのか」を確認しよう。
条件1：3組の辺がそれぞれ等しい（3辺相等）
3つの辺の長さが決まると、三角形の形は1通りに決まる。試しに3本の棒を組み合わせてみると、形を変えることはできない。これが「3辺相等」の考え方である。
条件2：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（2辺夾角）
2つの辺の長さと、その間の角度が決まると、残りの頂点の位置は1通りに決まる。「間の角」というのがポイントで、2辺に挟まれている角のことである。
「夾角（きょうかく）」とは「間にはさまれた角」という意味である。2つの辺にはさまれた角と覚えよう。
条件3：1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい（1辺両端角）
1つの辺の長さと、その辺の両端にある2つの角度が決まると、三角形の形は1通りに決まる。両端から線を引いていくと、必ず1点で交わるからである。
3つの合同条件をまとめて確認
ここまでの内容を表にまとめる。
| 条件名 | 内容 | 覚え方 |
|---|---|---|
| 3辺相等 | 3組の辺がそれぞれ等しい | 辺・辺・辺 |
| 2辺夾角 | 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい | 辺・角・辺 |
| 1辺両端角 | 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい | 角・辺・角 |
「辺・辺・辺」「辺・角・辺」「角・辺・角」のように、何が連続しているかで覚えると間違えにくい。
合同条件を使った証明の手順
合同条件を使って「2つの三角形が合同である」ことを証明する手順を確認しよう。
どの三角形とどの三角形を比べるか明記する
例：「$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ において」
等しいものを1つずつ書き出す
「仮定より $AB = DE$ …①」のように番号をつける。
どの合同条件を使うか宣言する
例：「①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから」
結論を書く
例：「$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$」
例題：合同条件を見つけよう
次の図で、$\triangle ABC \equiv \triangle DEC$ を証明する。
【条件】
- $AC = DC$（等しい辺に同じ印がついている）
- $\angle ABC = \angle DEC = 90°$（直角マークがついている）
- 点Bと点Eは同じ位置にある
【証明】
$\triangle ABC$ と $\triangle DEC$ において
①②③より、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから
直角三角形の場合は「斜辺と他の1辺」または「斜辺と1つの鋭角」という特別な合同条件も使える。これは3つの基本条件から導かれるものである。
よくある間違いと対策
合同条件を使うときに、多くの人がつまずくポイントを確認しておこう。
「2辺と1角」なら何でもいいと思ってしまう
2辺と1角が等しくても、角が「間の角」でなければ合同条件にならない。必ず2辺に挟まれた角でなければならない。
対応する頂点の順番を間違える
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ と書いたら、A↔D、B↔E、C↔Fが対応する。順番を間違えると減点される。
「仮定より」「共通だから」などの根拠を書かない
なぜ等しいのかを必ず書く。「仮定より」「共通だから」「対頂角だから」など、理由を明記しよう。
この単元のよくある質問
Q. 3つの角がそれぞれ等しいのに、なぜ合同条件にならないのですか？
A. 3つの角が等しいだけでは、形は同じでも大きさが違う可能性がある。例えば、すべての角が60°の正三角形は、一辺が3cmでも5cmでも作れる。形が同じで大きさが違う図形は「相似」といい、「合同」とは区別する。
Q. 直角三角形には特別な合同条件があると聞きましたが？
A. 直角三角形では「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」または「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」場合も合同になる。ただし、これらは基本の3条件から導かれるものなので、まずは3つの条件をしっかり覚えよう。
Q. 証明問題で「どの条件を使えばいいか」がわかりません。
A. まず図を見て、等しいとわかっている辺と角に印をつけよう。印が「辺・辺・辺」なら3辺相等、「辺・角・辺」のように並んでいれば2辺夾角、「角・辺・角」なら1辺両端角である。印をつけてパターンを見つける習慣をつけよう。
練習問題
（ア）3組の角がそれぞれ等しい
（イ）2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
（ウ）1組の辺と2組の角がそれぞれ等しい
（エ）3組の辺がそれぞれ等しい
まとめ
この記事では、三角形の合同条件について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 合同とは「形も大きさも完全に同じ」こと
- 3つの合同条件：3辺相等、2辺夾角、1辺両端角
- 「辺・辺・辺」「辺・角・辺」「角・辺・角」で覚える
- 証明では「どの条件を使うか」を明記する
合同条件は証明問題の基本である。3つの条件を確実に使いこなせるよう、繰り返し練習しよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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