「平行四辺形の性質は覚えたのに、長方形やひし形になると急にわからなくなる」——そんな経験はないだろうか。
実はこれ、長方形・ひし形・正方形が「平行四辺形の仲間」であることを意識できていないだけである。3つの図形は、平行四辺形に「ある条件」を加えたものにすぎない。
この記事では、長方形・ひし形・正方形がどのような関係にあるのかを、対角線の性質を中心に整理する。読み終える頃には、どの図形がどんな特徴を持つか、迷わず判断できるようになる。
そもそも「特別な平行四辺形」とは？
まず、平行四辺形の定義を確認しよう。
平行四辺形とは、2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形のことである。
平行四辺形には、次の性質がある。
- 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
- 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
- 対角線がそれぞれの中点で交わる
長方形・ひし形・正方形は、この平行四辺形に「追加の条件」を加えた図形である。つまり、平行四辺形の性質をすべて持っている。
長方形・ひし形・正方形の定義
長方形
長方形とは、4つの角がすべて直角である四角形のことである。
言い換えると、「4つの角が等しい平行四辺形」である。
ひし形
ひし形とは、4つの辺がすべて等しい四角形のことである。
言い換えると、「4つの辺が等しい平行四辺形」である。
正方形
正方形とは、4つの角がすべて直角で、かつ4つの辺がすべて等しい四角形のことである。
これは「長方形 かつ ひし形」を満たす図形である。
3つの図形の関係を図で理解する
長方形・ひし形・正方形と平行四辺形の関係は、次の図のように表せる。
この図から、次のことがわかる。
- 長方形・ひし形・正方形は、すべて平行四辺形の一種である
- 正方形は、長方形とひし形の両方の性質を持つ
- 長方形とひし形は、互いに異なる条件で定義される
対角線の性質で見分ける
3つの図形を見分けるとき、最も役立つのが対角線の性質である。
| 図形 | 対角線の長さ | 対角線の交わり方 |
|---|---|---|
| 平行四辺形 | 等しいとは限らない | 中点で交わる |
| 長方形 | 等しい | 中点で交わる |
| ひし形 | 等しいとは限らない | 垂直に中点で交わる |
| 正方形 | 等しい | 垂直に中点で交わる |
垂直とは、2つの直線が90°で交わることである。
対角線の性質をアニメーションで確認する
それぞれの図形の対角線がどのような特徴を持つか、アニメーションで確認しよう。
アニメーションを再生すると、次のことが確認できる。
- 平行四辺形：対角線は中点で交わるが、長さは等しくなく、垂直でもない
- 長方形：対角線は中点で交わり、長さが等しい
- ひし形：対角線は中点で垂直に交わる
- 正方形：対角線は等しく、かつ垂直に交わる
判定のポイント
平行四辺形が長方形・ひし形・正方形であるかどうかは、次のポイントで判断できる。
→ Yesなら長方形
→ Yesならひし形
→ Yesなら正方形
また、対角線の性質で判断する場合は次のようになる。
→ Yesなら長方形（正方形の可能性もあり）
→ Yesならひし形（正方形の可能性もあり）
→ Yesなら正方形
例題
次の問題で、判定の手順を確認しよう。
解答
「対角線の長さが等しい」という条件はないので、正方形とは判断できない。
よくある間違いと対策
間違い1：正方形は長方形ではないと思っている
正方形は「4つの角がすべて直角」という条件を満たすので、長方形の一種である。同様に、正方形はひし形の一種でもある。
間違い2：対角線が等しければ正方形だと思っている
対角線が等しい平行四辺形は長方形である。正方形と判断するには、さらに「対角線が垂直」という条件が必要である。
間違い3：平行四辺形の性質を忘れる
長方形・ひし形・正方形はすべて平行四辺形の一種なので、平行四辺形の性質もすべて持っている。例えば、長方形でも「対角線が中点で交わる」という性質は成り立つ。
この単元のよくある質問
Q. 長方形とひし形に共通する性質はありますか？
A. どちらも平行四辺形なので、「2組の向かい合う辺がそれぞれ平行」「2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい」「対角線がそれぞれの中点で交わる」という性質は共通している。
Q. 正方形は必ず長方形といえますか？
A. はい、必ずいえる。正方形は4つの角がすべて直角なので、長方形の定義を満たす。同様に、正方形は必ずひし形でもある。
Q. 対角線が等しくて垂直なら、必ず正方形ですか？
A. その図形が平行四辺形であれば、正方形といえる。平行四辺形であることが前提条件として必要である点に注意しよう。
練習問題
- 長方形の対角線は垂直に交わる
- ひし形の対角線の長さは等しい
- 正方形の対角線は中点で交わる
- 正方形は長方形である
まとめ
この記事では、長方形・ひし形・正方形と平行四辺形の関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 長方形・ひし形・正方形は、すべて平行四辺形の一種である
- 長方形：4つの角がすべて直角 → 対角線の長さが等しい
- ひし形：4つの辺がすべて等しい → 対角線が垂直に交わる
- 正方形：長方形 かつ ひし形 → 対角線が等しく、垂直に交わる
対角線の性質を覚えておくと、問題を解くときに素早く判断できるようになる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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