「相似比が1:2なら、面積比も1:2」と思っていないだろうか。実は、これは多くの中学生がやってしまう間違いである。
相似比と面積比の関係がわからず、テストで点を落とした経験はないだろうか。「なんとなく比を使う」だけでは、応用問題で必ずつまずく。
原因は単純で、「相似比と面積比の2乗の関係」をきちんと理解していないだけである。この記事では、なぜ面積比が相似比の2乗になるのかを、図解とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも相似比・面積比とは？
相似な図形とは、形が同じで大きさだけが異なる図形のことである。相似な2つの図形において、対応する辺の長さの比を相似比という。
相似比は「形のコピー倍率」と考えるとわかりやすい。相似比が1:2なら、一方の図形を2倍に拡大すると、もう一方の図形と同じ大きさになる。
一方、面積比とは、2つの図形の面積の比のことである。
例えば、正方形Aの1辺が3cm、正方形Bの1辺が6cmのとき、
- 相似比は $3:6 = 1:2$
- 正方形Aの面積は $3 \times 3 = 9$ cm²
- 正方形Bの面積は $6 \times 6 = 36$ cm²
- 面積比は $9:36 = 1:4$
このように、相似比が1:2でも、面積比は1:2にはならない。ここに「2乗の関係」が隠れている。
相似比と面積比の関係を図で理解する
なぜ面積比が相似比の2乗になるのかを、正方形で確認しよう。
アニメーションが示すように、1辺が2倍になると、正方形の中に元の正方形が4つ入る。つまり、面積は$2^2 = 4$倍になる。
これは正方形だけでなく、すべての相似な図形に当てはまる。三角形でも円でも、相似比が$m:n$なら、面積比は$m^2:n^2$になる。
三角形での確認
正方形だけでなく、三角形でも同じことが成り立つことを確認しよう。
三角形Bの各辺の中点を結ぶと、三角形Bは4つの合同な三角形に分割できる。それぞれが三角形Aと相似比1:1（つまり合同）なので、三角形Bの面積は三角形Aの4倍であることがわかる。
公式のまとめ
相似比と面積比の関係をまとめると、次のようになる。
| 相似比 | 面積比 | 計算 |
|---|---|---|
| 1:2 | 1:4 | $1^2:2^2$ |
| 1:3 | 1:9 | $1^2:3^2$ |
| 2:3 | 4:9 | $2^2:3^2$ |
| 3:5 | 9:25 | $3^2:5^2$ |
逆に、面積比がわかっている場合は、平方根をとれば相似比がわかる。面積比が$4:9$なら、相似比は$\sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3$である。
例題で手順を確認する
実際の問題で、相似比と面積比の関係を使ってみよう。
例題1：面積比を求める
問題：△ABCと△DEFは相似で、相似比は$3:5$である。△ABCの面積が$18$ cm²のとき、△DEFの面積を求めよ。
相似比から面積比を求める
面積比から△DEFの面積を求める
△ABCの面積：△DEFの面積 $= 9:25$ より
答え：$50$ cm²
例題2：相似比を求める
問題：相似な2つの四角形A, Bがある。四角形Aの面積が$16$ cm²、四角形Bの面積が$36$ cm²のとき、相似比を求めよ。
面積比を求める
面積比から相似比を求める（平方根をとる）
答え：$2:3$
よくある間違いと対策
間違い：相似比と面積比を同じと思ってしまう
対策：「面積は2方向に広がる」と覚える。縦が2倍、横も2倍なら、面積は$2 \times 2 = 4$倍になる。
間違い：2乗を忘れる
対策：相似比$a:b$ → 面積比$a^2:b^2$と、必ず2乗の計算を書く習慣をつける。
間違い：面積比から相似比を求めるときに2乗してしまう
対策：面積比 → 相似比は「平方根をとる」。逆向きの操作であることを意識する。
この単元のよくある質問
Q. 円でも相似比と面積比の関係は使えるのか？
A. 使える。すべての円は相似なので、半径の比が相似比となる。半径の比が$r_1:r_2$なら、面積比は$r_1^2:r_2^2$である。例えば、半径3cmと半径5cmの円の面積比は$9:25$となる。
Q. 相似比が小数や分数のときはどうするのか？
A. 同じように2乗すればよい。例えば相似比が$1:1.5 = 2:3$なら、面積比は$4:9$。相似比を簡単な整数比に直してから2乗すると計算しやすい。
Q. 体積比はどうなるのか？
A. 立体の場合、相似比$m:n$のとき、体積比は$m^3:n^3$（3乗）になる。面積は2次元だから2乗、体積は3次元だから3乗と覚えるとよい。
練習問題
まとめ
この記事では、相似比と面積比の関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 相似比が$m:n$のとき、面積比は$m^2:n^2$（2乗の関係）
- 面積比から相似比を求めるときは、平方根をとる
- この関係は、正方形・三角形・円など、すべての相似な図形に当てはまる
相似比と面積比の2乗の関係を正しく使えるようになれば、図形の問題での計算がぐっと楽になる。何度も練習して、手が自然に動くようになるまで繰り返そう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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