「直角三角形の辺の長さを求めよ」と言われて、どこから手をつけていいかわからなくなったことはないだろうか。
公式は聞いたことがあるのに、いざ問題を見ると「どの辺が $a$ で、どれが $c$ なのか」と迷ってしまう。これは三平方の定理の本質を理解していないまま公式だけを覚えようとした結果である。
この記事では、三平方の定理がなぜ成り立つのかを図で確認し、どんな直角三角形でも3辺の関係を求められるようになるまで順を追って解説する。
そもそも三平方の定理とは？
三平方の定理とは、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係を表した定理である。別名「ピタゴラスの定理」とも呼ばれる。
定理とは、正しいことが証明された数学のルールのことである。
三平方の定理を一言で表すと、次のようになる。
ここで、$a$ と $b$ は直角をはさむ2辺、$c$ は直角の向かい側にある辺（斜辺）である。
斜辺とは、直角三角形で最も長い辺のことである。直角の反対側にある。
具体例で確認しよう。3辺の長さが $3$、$4$、$5$ の直角三角形を考える。
確かに $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立っている。これが三平方の定理である。
三平方の定理を図で理解する
なぜ $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立つのか。面積を使って視覚的に確認しよう。
このアニメーションが示しているのは、次のことである。
- 辺 $a$ を一辺とする正方形の面積は $a^2$
- 辺 $b$ を一辺とする正方形の面積は $b^2$
- 辺 $c$（斜辺）を一辺とする正方形の面積は $c^2$
そして、直角三角形では常に「赤い正方形の面積 $+$ 緑の正方形の面積 $=$ 青い正方形の面積」となる。これが三平方の定理の意味である。
三平方の定理の使い方
三平方の定理を使えば、直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺を求めることができる。
パターン1：斜辺を求める
直角をはさむ2辺がわかっているとき、斜辺を求める。
三平方の定理 $a^2 + b^2 = c^2$ を使う
$a$ と $b$ に値を代入する
$c^2$ の値を計算する
平方根をとって $c$ を求める
平方根とは、2乗して元の数になる値のことである。例えば $\sqrt{25} = 5$ である。
例題1：直角をはさむ2辺が $6$ と $8$ の直角三角形の斜辺を求めよ。
よって、斜辺は $10$ である。
パターン2：直角をはさむ辺を求める
斜辺と、もう1辺がわかっているとき、残りの辺を求める。
$a^2 + b^2 = c^2$ を変形して $a^2 = c^2 – b^2$ とする
わかっている値を代入する
$a^2$ の値を計算する
平方根をとって $a$ を求める
例題2：斜辺が $13$、一辺が $5$ の直角三角形の残りの辺を求めよ。
よって、残りの辺は $12$ である。
特別な直角三角形の比
次の2つの直角三角形は頻繁に登場するので、辺の比を覚えておくと計算が速くなる。
| 角度 | 辺の比 | 覚え方 |
|---|---|---|
| 45° – 45° – 90° | $1 : 1 : \sqrt{2}$ | 正方形を対角線で切った形 |
| 30° – 60° – 90° | $1 : \sqrt{3} : 2$ | 正三角形を半分に切った形 |
これらの比を使えば、三平方の定理を毎回計算しなくても、すぐに辺の長さがわかる。
例題3：1辺が $6$ の正方形の対角線の長さを求めよ。
正方形の対角線は、45° – 45° – 90° の直角三角形を作る。辺の比 $1 : 1 : \sqrt{2}$ より、
よくある間違いと対策
間違い：どの辺が斜辺かわからない
対策：斜辺は「直角の向かい側にある辺」であり、「最も長い辺」である。図を描いて直角の位置を確認しよう。
間違い：$a^2 + b^2 = c^2$ の $c$ に短い辺を入れてしまう
対策：$c$ は必ず斜辺（最長の辺）である。問題文で「斜辺」と書かれていなくても、直角の対辺を $c$ とする。
間違い：$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ と計算してしまう
対策：$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ であり、$3 + 4 = 7$ とは異なる。必ず先に足してから平方根をとる。
よくある質問と答え
Q. なぜ「三平方」という名前なのですか？
A. $a^2$、$b^2$、$c^2$ という3つの「平方」（2乗）の関係を表しているからである。「ピタゴラスの定理」とも呼ばれるが、日本では「三平方の定理」が正式名称として使われる。
Q. 直角三角形でなければ使えないのですか？
A. その通りである。三平方の定理は直角三角形専用の定理である。直角がない三角形には「余弦定理」を使う。
Q. 答えに $\sqrt{}$ が残っても大丈夫ですか？
A. 大丈夫である。例えば $\sqrt{5}$ は約 $2.236…$ だが、$\sqrt{5}$ のままの方が正確な値である。問題で「小数で答えよ」と指示がない限り、$\sqrt{}$ のまま答えてよい。
練習問題
まとめ
この記事では三平方の定理について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 三平方の定理：直角三角形で $a^2 + b^2 = c^2$（$c$ は斜辺）
- 斜辺は「直角の向かい側」にある最も長い辺
- 特別な直角三角形の比：$1 : 1 : \sqrt{2}$（45°-45°-90°）、$1 : \sqrt{3} : 2$（30°-60°-90°）
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント