「点から直線までの距離を求めなさい」という問題で、どこを測ればいいのかわからず困った経験はないだろうか。
斜めに線を引いてしまったり、適当な場所で測ってしまったりして、答えが合わないことがある。実は、点と直線の距離には「たった1つのルール」がある。それさえ知れば、迷うことはなくなる。
この記事では、点と直線の距離とは何か、なぜ垂線が最短になるのかを、図解とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも「点と直線の距離」とは？
まず、「距離」という言葉の意味を確認しよう。日常では「家から駅までの距離」のように使うが、数学ではもっと厳密な意味がある。
距離とは：2つのものの間の「最も短い長さ」のことである。回り道をした長さではなく、まっすぐ測ったときの長さを指す。
では、点と直線の距離とは何だろうか。
点と直線の距離とは：ある点から直線に向かって引ける線のうち、最も短いものの長さである。
ここで重要なのは、点から直線に向かって線を引く方法は無限にあるということだ。斜めに引くこともできるし、いろいろな角度で引くこともできる。しかし、その中で「最短」のものは1つしかない。
最短距離を図で理解する
点Pから直線ℓに向かって、いろいろな方向に線を引いてみよう。どの線が一番短いだろうか。
アニメーションを見ると、灰色の破線（斜めの線）よりも、青い線（まっすぐ下に引いた線）の方が短いことがわかる。
この青い線には特別な名前がついている。
垂線とは：ある直線に対して、直角（90°）に交わる線のことである。図の小さな四角形は「ここが直角である」という印だ。
なぜ垂線が最短なのか
「垂線が最短である」というのは、なんとなくそう見えるだけではない。きちんとした理由がある。
点Pから直線ℓ上の点Hに垂線を引き、直線ℓ上の別の点をAとする。このとき、三角形PHAができる。
この三角形PHAは、角Hが直角の直角三角形である。
直角三角形には次の性質がある。
直角三角形の性質：直角三角形では、直角の向かい側にある辺（斜辺）が最も長い。
つまり、三角形PHAでは、斜辺PAが最も長い辺である。言い換えると、PHはPAより短い。
直線ℓ上のどんな点Aを選んでも、PA＞PHとなる。だから、PHが最短なのだ。
点と直線の距離の求め方
ここまでをまとめると、次のようになる。
点Pから直線ℓに垂線を引く
垂線と直線ℓの交点をHとする
線分PHの長さが「点Pと直線ℓの距離」である
覚えておくこと：点と直線の距離 ＝ 垂線の長さ
例題で確認しよう
具体的な問題で、点と直線の距離の考え方を使ってみよう。
例題1
下の図で、点Pと直線ℓの距離を求めなさい。
考え方
PHは直線ℓに垂直に引かれた線（直角マークがある）なので、これが垂線である。
垂線の長さが4cmなので、点Pと直線ℓの距離は4cmである。
例題2
下の図で、点Pと直線ℓの距離として正しいものはどれか。
ア. 3cm イ. 5cm ウ. 8cm
考え方
2つの線が引かれているが、直角マークがついているのはPHの方である。
点と直線の距離は「垂線の長さ」なので、答えはア. 3cmである。
PAは斜めの線なので、距離ではない。
よくある間違いと対策
点と直線の距離でつまずきやすいポイントを確認しよう。
斜めの線を距離だと思ってしまう
直線上のどこかの点に向かって適当に線を引いたものは「距離」ではない。必ず垂直に引いた線の長さを答えること。
直角マークを見落とす
図に直角マーク（小さな四角形）がついていれば、そこが垂線の交点である。直角マークを探す習慣をつけよう。
「最短」の意味を忘れる
距離とは「最も短い長さ」のことである。複数の線が描かれていたら、一番短いものを選ぶという意識を持とう。
この単元のよくある質問
Q. なぜ垂線が最短になるのですか？
A. 点Pから直線上の任意の点Aへ線を引くと、垂線の足Hとの間で直角三角形ができます。直角三角形では斜辺（PA）が最も長いので、垂線（PH）の方が必ず短くなります。
Q. 垂線はどうやって引けばいいですか？
A. 三角定規を使って、直線に対して90°になるように線を引きます。コンパスと定規だけで作図する方法もありますが、それは作図の単元で学びます。
Q. 点と点の距離も同じ考え方ですか？
A. はい、同じです。2点間の距離は、2点を結ぶ線分の長さです。回り道をせず、まっすぐ結んだ最短の長さが距離になります。
練習問題
点と直線の距離とは、点から直線に引いた（ ① ）の長さのことである。（ ① ）とは、直線に対して（ ② ）に交わる線のことである。
まとめ
この記事では、点と直線の距離について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 点と直線の距離とは、「最も短い長さ」のことである
- 最短になるのは、点から直線に垂線を引いたときである
- 垂線とは、直線に対して直角（90°）に交わる線である
- 直角三角形では斜辺が最長 → だから垂線が最短になる
図の中で直角マークを探し、垂線の長さを読み取る習慣をつけよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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