円に直線がちょうど1点だけで触れている図を見て、「なぜ接線は接点で円の半径と垂直になるのか」と疑問に思ったことはないだろうか。
テストで「接線の長さを求めよ」という問題が出ると、どこに直角があるのかわからず手が止まってしまう。公式を覚えていても、図のどこに当てはめればいいかがわからない。
実は、接線の問題で迷う原因は、「接点で垂直」というたった1つの性質を図の中で見つけられていないだけである。この記事では、接線と接点の基本を図解し、なぜ垂直になるのかを理解できるまで解説する。
そもそも接線・接点とは？
まずは言葉の意味を確認しよう。
接線とは、円とちょうど1点だけで交わる直線のことである。「触れている」「接している」という意味の「接」を使っている。
接点とは、接線と円が触れている、その1点のことである。
具体的に見てみよう。下の図で、直線 $\ell$ は円Oとちょうど1点Pだけで交わっている。このとき、
- 直線 $\ell$ を「円Oの接線」という
- 点Pを「接点」という
点Pは円周上にあり、直線 $\ell$ は点Pを通っている。しかし、直線 $\ell$ は円の内側に入り込んでいない。まさに「触れているだけ」という状態である。
接線の最も重要な性質：接点で垂直
接線について、必ず覚えておくべき性質がある。
言い換えると、中心Oから接点Pに引いた線分OP（これは半径）と、接線 $\ell$ は、接点Pで90°の角をなす。
記号で書くと：
$\perp$ は「垂直」を表す記号である。「OPと $\ell$ は垂直」と読む。
なぜ垂直になるのかを図で理解する
「接点で垂直」と言われても、なぜそうなるのかイメージしにくいかもしれない。ここでは、直線を回転させるアニメーションで理解しよう。
アニメーションを見ると、次のことがわかる。
- 直線が斜めのとき（半径と垂直でないとき）：直線は円を「突き抜けて」2点で交わる
- 直線が半径と垂直になったとき：直線は円にちょうど1点で「触れる」だけになる
つまり、円に1点だけで接するためには、必然的に半径と垂直にならなければならないのである。
接線の性質を使う場面
「接点で垂直」という性質は、次のような場面で使う。
場面1：直角三角形を見つける
接線の問題では、中心O・接点P・もう1点を結ぶと直角三角形ができることが多い。直角があれば、三平方の定理が使える。
場面2：接線の長さを求める
外部の点Aから円に接線を引いたとき、AからPまでの長さを「接線の長さ」という。直角三角形OPAで三平方の定理を使えば求められる。
例題：接線の長さを求める
具体的な問題を解いてみよう。
まず、使う性質を確認する。
接線は接点で半径と垂直だから、$\angle OPA = 90°$ である。
$\triangle OPA$ は直角三角形なので、三平方の定理が使える。
わかっている値を代入する。
$OP = 3$（半径）、$OA = 5$ だから、
計算して $AP$ を求める。
答え：$AP = 4$ cm
$AP^2 = 16$ から $AP = \pm 4$ となるが、長さは正の値なので $AP = 4$ である。
よくある質問と答え
Q. 接線はなぜ1点でしか交わらないのですか？
A. 接線は円に「触れている」だけの直線です。もし2点で交わっていたら、それは円を「突き抜けている」ことになり、接線とは呼びません。2点で交わる直線は「割線」といいます。
Q. 外部の点から円に接線を引くと、2本引けるのはなぜですか？
A. 円の外側の点から円を見ると、円の左側と右側にそれぞれ「ちょうど触れる」ような直線が引けます。左右対称に2本の接線が存在し、しかもその2本の接線の長さ（外部の点から接点までの距離）は等しくなります。
Q. 接線の問題で最初に何をすればいいですか？
A. まず「接点」を見つけて印をつけましょう。次に、中心と接点を結ぶ半径を書き込みます。すると「接点で垂直」の性質から直角が見つかり、直角三角形ができることが多いです。直角三角形が見つかれば、三平方の定理が使えます。
練習問題
まとめ
この記事では、円の接線と接点について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 接線とは、円とちょうど1点だけで交わる直線のこと
- 接点とは、接線と円が触れている点のこと
- 最重要性質：接線は、接点において円の半径と垂直に交わる
- この性質を使うと、直角三角形が見つかり、三平方の定理で長さを求められる
接線の問題を見たら、まず「接点」を探し、「中心と接点を結ぶ半径」を書き込もう。そこに直角があることを意識すれば、問題がぐっと解きやすくなる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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