「解の公式は覚えたけど、なぜこんな複雑な式になるのかわからない」——そう感じたことはないだろうか。
公式をただ暗記するだけでは、少し形が変わった問題で手が止まってしまう。また、符号を間違えたときに「どこがおかしいのか」を自分で確認できない。
実は、解の公式は「平方完成」という中学で習うテクニックだけで導くことができる。この記事では、解の公式がなぜ成り立つのかを、1行ずつ丁寧に追いかけていく。導き方を理解すれば、公式を忘れても自分で作り直せるようになる。
そもそも解の公式とは？
二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）の解を、係数 $a$, $b$, $c$ だけで表したものが解の公式である。
「$\pm$」は「プラスマイナス」と読み、$+$ の場合と $-$ の場合の2つの解があることを表している。
この公式を使えば、どんな二次方程式でも解を求められる。しかし、なぜこのような形になるのだろうか。これから、一般形 $ax^2 + bx + c = 0$ を出発点として、ステップごとに変形していく。
導出の全体像を図で理解する
解の公式を導く流れは、大きく分けて4つのステップからなる。まずは全体の見通しを持っておこう。
ポイントは「STEP3：平方完成」である。$(x + ○)^2 = △$ の形を作ることで、平方根をとって $x$ を求められるようになる。
解の公式を導く手順
それでは、実際に $ax^2 + bx + c = 0$ を変形して、解の公式を導いていこう。
両辺を $a$ で割る
$x^2$ の係数を $1$ にするため、方程式全体を $a$ で割る。
両辺を $a$（$a \neq 0$）で割ると：
$a$ で割ることで、$ax^2$ が $x^2$ になる。係数が $1$ になると、次の平方完成がしやすくなる。
定数項を移項する
$\dfrac{c}{a}$ を右辺に移す。
移項とは、項を等号の反対側に移すこと。移すと符号が変わる。
平方完成を行う
これが最も重要なステップである。左辺を $(x + ○)^2$ の形にしたい。
公式 $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$ を思い出そう。今、左辺は $x^2 + \dfrac{b}{a}x$ である。
$2p = \dfrac{b}{a}$ と比較すると、$p = \dfrac{b}{2a}$ である。
$(x + p)^2$ を作るには、$p^2 = \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2}$ を両辺に加える。
左辺は $(x + \dfrac{b}{2a})^2$ にまとまる：
右辺を整理する
右辺を通分して1つの分数にまとめる。
よって：
両辺の平方根をとる
$(何か)^2 = A$ のとき、「何か $= \pm\sqrt{A}$」となる。
$\pm$ がつくのは、2乗して同じ値になる数は正と負の2つあるため。例：$3^2 = 9$、$(-3)^2 = 9$
$\sqrt{\dfrac{b^2 – 4ac}{4a^2}} = \dfrac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{\sqrt{4a^2}} = \dfrac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2|a|}$
$\sqrt{4a^2} = 2|a|$ である。ただし、$a \neq 0$ かつ $2a$ で割る最終形を考えると、$\dfrac{1}{2|a|}$ は $\dfrac{1}{2a}$（または $\dfrac{-1}{2a}$）と書ける。$\pm$ がついているので、まとめて $\dfrac{\pm\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ と表記できる。
$x$ について解く
$\dfrac{b}{2a}$ を右辺に移項する。
これで解の公式が導けた。
平方完成のポイントをアニメーションで確認
STEP3の「両辺に $\dfrac{b^2}{4a^2}$ を加える」部分が、導出の核心である。なぜこの値を加えるのか、具体例で確認しよう。
上の図では $x^2 + 6x$ を例にしている。$6x$ を $3x + 3x$ に分けて、$3^2 = 9$ を加えることで $(x+3)^2$ という完全な正方形が作れる。一般に、$x^2 + \dfrac{b}{a}x$ に対しては $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ を加える。
導出の各ステップを対話的に確認
自分のペースで1ステップずつ確認しよう。
よくある質問と答え（FAQ）
Q. なぜ両辺を $a$ で割るのですか？
A. $x^2$ の係数を $1$ にすることで、平方完成の計算が格段に楽になるためである。係数が $a$ のままだと、$(○x + △)^2$ の形を作る必要があり、複雑になる。
Q. $\pm$ はなぜつくのですか？
A. $(何か)^2 = A$ のとき、「何か」は $+\sqrt{A}$ でも $-\sqrt{A}$ でも成り立つからである。例えば $x^2 = 9$ なら $x = 3$ と $x = -3$ の両方が解になる。二次方程式には基本的に2つの解がある。
Q. $b^2 - 4ac$ が負になったらどうなりますか？
A. $b^2 - 4ac < 0$ のとき、負の数の平方根を考えることになり、中学数学の範囲では「解なし」となる。この $b^2 - 4ac$ を判別式と呼び、解の個数を判定するのに使う。
練習問題
まとめ
この記事では、解の公式がなぜ成り立つのかを、平方完成を使って導出した。ポイントは以下の通りである。
- $x^2$ の係数を $1$ にするため、最初に $a$ で割る
- $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ を両辺に加えて平方完成する
- $(x + ○)^2 = △$ の形にして、平方根をとる
- $\pm$ は解が2つあることを表す
公式を丸暗記するのではなく、導き方を理解していれば、忘れたときも自分で再構成できる。また、なぜその形になるのかがわかると、応用問題への対応力も上がる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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