「変化の割合を求めよ」という問題で、何をどう計算すればいいか迷っていないだろうか。
公式は知っているはずなのに、分子と分母のどちらに何を入れるか忘れてしまう。これは、変化の割合が「何を表しているか」をイメージできていないだけである。
この記事では、変化の割合の意味を図でつかみ、計算手順を完全に身につけるところまで順を追って解説する。
🔰 初めての方へ：難しい理論は一切省略する。「この順番で計算すれば必ず解ける」という手順だけをお伝えするので、数学が苦手でも安心してほしい。
この記事で使う用語
先に、この記事で登場する専門用語をまとめておく。わからない言葉が出てきたら、ここに戻って確認しよう。
- 変化の割合
- $x$ が増えたとき、$y$ がどれだけ増えるかを表す数。「$x$ が1増えると、$y$ はいくつ増えるか」を示している。
- 増加量
- ある値から別の値への変化量のこと。「後の値 − 前の値」で求める。増加量がマイナスなら「減った」ことを意味する。
- $x$ の増加量
- $x$ の値がどれだけ変化したか。$x$ が1から3に変わったなら、$x$ の増加量は $3 – 1 = 2$ である。
- $y$ の増加量
- $y$ の値がどれだけ変化したか。$y$ が4から10に変わったなら、$y$ の増加量は $10 – 4 = 6$ である。
- 二次関数
- $y = ax^2$ や $y = ax^2 + bx + c$ の形で表される関数のこと。グラフは放物線になる。
道具（公式）を手に入れる
証明は不要。「こういう道具がある」と知っていれば、あとは使い方を覚えるだけである。
$x$ の値がある範囲で変化したとき、「$x$ が1増えるごとに $y$ が平均でどれだけ変化するか」がわかる。
この公式の各部分の意味は以下の通りである。
- 分子（上）：$y$ の増加量 ＝ （後の $y$ の値）−（前の $y$ の値）
- 分母（下）：$x$ の増加量 ＝ （後の $x$ の値）−（前の $x$ の値）
「yが上、xが下」と覚えよう。アルファベット順で $x$ より $y$ が後なので、$y$ が上（分子）に来ると覚えるのも良い。
使い方マニュアル
変化の割合を求める手順は以下の通りである。
まず、$x$ の値の「前」と「後」を確認する。
（なぜ？：どこからどこへ変化したかがわからないと、増加量が計算できないため）
次に、$x$ の増加量を計算する：（後の $x$）−（前の $x$）
（なぜ？：分母に入れる値を先に求めておく）
次に、前と後の $x$ の値を関数に代入して、それぞれの $y$ の値を求める。
（なぜ？：$y$ の増加量を求めるには、前後の $y$ の値が必要だから）
次に、$y$ の増加量を計算する：（後の $y$）−（前の $y$）
（なぜ？：分子に入れる値を求める）
最後に、公式に代入する：$\dfrac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$
（なぜ？：割り算をすれば、「$x$ が1増えたときの $y$ の変化量」が求まる）
図で理解する
これから表示する図は、二次関数 $y = x^2$ のグラフと、変化の割合の意味を視覚的に表している。
- 青い曲線：二次関数 $y = x^2$ のグラフ（放物線）
- 赤い点：$x = 1$ のときの点と、$x = 3$ のときの点
- 緑の線：$x$ の増加量と $y$ の増加量を示す線分
- $x$ が1から3に増えると、増加量は $3 – 1 = 2$
- $y$ が1から9に増えると、増加量は $9 – 1 = 8$
- 変化の割合 $= \dfrac{8}{2} = 4$（$x$ が1増えるごとに $y$ は平均4増える）
実際に解いてみよう
ステップ1：まずは簡単な問題で練習
関数 $y = x^2$ で、$x$ が1から2まで変化するときの変化の割合を求めよ。
（💡 数値が小さくて計算しやすい！）
$x$ の「前」と「後」を確認する。
前：$x = 1$、後：$x = 2$
$x$ の増加量を計算する。
前後の $y$ の値を求める。
$x = 1$ のとき：$y = 1^2 = 1$
$x = 2$ のとき：$y = 2^2 = 4$
$y$ の増加量を計算する。
公式に代入する。
答え：$3$
（💡 答えの意味：$x$ が1から2に1増える間に、$y$ は3増えた）
ステップ2：標準的な問題に挑戦
関数 $y = 2x^2$ で、$x$ が1から4まで変化するときの変化の割合を求めよ。
$x$ の「前」と「後」を確認する。
前：$x = 1$、後：$x = 4$
$x$ の増加量を計算する。
前後の $y$ の値を求める。
$x = 1$ のとき：$y = 2 \times 1^2 = 2 \times 1 = 2$
$x = 4$ のとき：$y = 2 \times 4^2 = 2 \times 16 = 32$
$y$ の増加量を計算する。
公式に代入する。
答え：$10$
ステップ3：負の値を含む問題
関数 $y = x^2$ で、$x$ が $-3$ から $-1$ まで変化するときの変化の割合を求めよ。
$x$ が負の値でも、手順は全く同じである。「後 − 前」の計算で符号を間違えないように注意しよう。
$x$ の「前」と「後」を確認する。
前：$x = -3$、後：$x = -1$
（💡 数直線上で $-3$ は $-1$ より左にあるので、$-3$ が「前」）
$x$ の増加量を計算する。
前後の $y$ の値を求める。
$x = -3$ のとき：$y = (-3)^2 = 9$
$x = -1$ のとき：$y = (-1)^2 = 1$
$y$ の増加量を計算する。
公式に代入する。
答え：$-4$
（💡 答えの意味：変化の割合がマイナスということは、$x$ が増えると $y$ は減ることを表している）
よくある間違いと対策
分子と分母を逆にしてしまう
変化の割合は「$y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」である。
✅ 正しくは：$\dfrac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$（「$y$ が上、$x$ が下」と覚える）
「後 − 前」の順番を間違える
増加量は必ず「後の値 − 前の値」で計算する。
✅ 正しくは：$3 – 1 = 2$（後の3から前の1を引く）
$y$ の値を求めるときの計算ミス
特に負の数の2乗に注意する。
✅ 正しくは：$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$（マイナス × マイナス = プラス）
計算が終わったら、もう一度「$x$ の増加量」と「$y$ の増加量」を確認しよう。増加量を計算し直して、変化の割合 × ($x$ の増加量) = ($y$ の増加量) が成り立てばOK。
練習問題
この単元のよくある質問
Q. 変化の割合がマイナスになることはありますか？
A. ある。変化の割合がマイナスのときは、「$x$ が増えると $y$ は減る」ことを意味する。二次関数では、$x$ が正から負の範囲を通過するときや、$y = -ax^2$ の形のとき、マイナスになることがある。
Q. 一次関数の変化の割合と二次関数の変化の割合は違うのですか？
A. 計算方法（公式）は同じである。違いは、一次関数では変化の割合が常に一定（傾きと等しい）であるのに対し、二次関数では $x$ の範囲によって変化の割合が変わる点である。
Q. なぜ「平均」という言葉を使うのですか？
A. 二次関数では、$x$ が1増えるごとの $y$ の変化量は一定ではない。変化の割合は、指定された $x$ の範囲全体での「平均的な変化量」を表している。グラフで言えば、2点を結んだ直線の傾きに相当する。
まとめ
この記事では、二次関数における変化の割合の意味と計算方法について学んだ。ポイントは以下の通りである。
✅ これができればOK
- □ 変化の割合 $= \dfrac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$ を正しく覚えている（「$y$ が上、$x$ が下」）
- □ 増加量は「後 − 前」で計算できる
- □ $y$ の値を求めるとき、負の数の2乗を正しく計算できる
- □ 変化の割合がマイナスになっても慌てない（「$x$ が増えると $y$ は減る」という意味）
Core-dorill — 基礎を、何度でも。
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