「$y = ax^2$ のグラフを書け」と言われて、手が止まったことはないだろうか。
公式は知っている。放物線になることも知っている。でも、実際に座標を取ってグラフを書こうとすると、「どこに点を打てばいいのか」「どうつなげばいいのか」がわからない。
その原因は、「グラフを書く手順」を体で覚えていないからである。この記事では、$y = ax^2$ のグラフを確実に書けるようになるまで、ステップごとに解説する。
🔰 初めての方へ：数学が苦手でも大丈夫。この記事では、難しい理論は一切省略し、「手順通りにやれば必ず書ける」方法だけをお伝えする。
この記事で使う用語
先に、この記事で登場する専門用語をまとめておく。わからない言葉が出てきたら、ここに戻って確認しよう。
- 二次関数
- $y = ax^2$ のように、$x$ の2乗（$x^2$）を含む関数のこと。グラフは必ず曲線になる。
- 放物線
- 二次関数のグラフが描く曲線の名前。ボールを投げたときの軌道と同じ形である。
- 頂点
- 放物線の一番低い点（または高い点）のこと。$y = ax^2$ の場合、頂点は必ず原点$(0, 0)$になる。
- 原点
- 座標平面の中心、$(0, 0)$ の位置のこと。$x$ 軸と $y$ 軸が交わる点である。
- 軸
- 放物線の対称の中心となる直線のこと。$y = ax^2$ の場合、軸は $y$ 軸（$x = 0$ の直線）である。
- 係数
- 文字の前についている数のこと。$y = 2x^2$ なら「2」が $x^2$ の係数である。
道具（公式）を手に入れる
証明は不要。「こういう道具がある」と知っていれば、あとは使い方を覚えるだけである。
$x$ の値を決めれば、対応する $y$ の値が計算できる。それを座標平面に点として打ち、つなげばグラフが完成する。
この公式の各記号の意味は以下の通りである。
- $x$：横軸の値（自分で好きな値を決める）
- $y$：縦軸の値（公式で計算して求める）
- $a$：係数（グラフの「開き具合」と「向き」を決める数）
- $a > 0$（正の数）のとき：グラフは上に開く（お椀を上向きにした形）
- $a < 0$（負の数）のとき：グラフは下に開く（お椀を下向きにした形）
- $|a|$ が大きいほど：グラフは縦に細長くなる
- $|a|$ が小さいほど：グラフは横に広がる
使い方マニュアル
$y = ax^2$ のグラフを書く手順は以下の通りである。
まず、$x$ の値をいくつか決める。
（なぜ？：点を打つ位置を決めるため。$x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ など、原点の左右で対称な値を選ぶとよい）
次に、それぞれの $x$ を公式に代入して $y$ を計算する。
（なぜ？：点の座標 $(x, y)$ を求めるため。$x^2$ を計算してから $a$ をかける）
求めた座標を座標平面にプロットする。
（なぜ？：点の位置がグラフの形を決める。点を正確に打つことが大切）
最後に、点を滑らかな曲線でつなぐ。
（なぜ？：二次関数のグラフは直線ではなく曲線（放物線）になる。フリーハンドで滑らかに描く）
図で理解する
これから表示する図は「座標平面」で、$y = x^2$ のグラフを視覚的に表している。
- 黒い線：$x$ 軸（横）と $y$ 軸（縦）
- 青い点：$x$ の値から計算した座標
- 青い曲線：点をつないだ放物線
- 赤い点：頂点（原点）
- $y = x^2$ のグラフは、原点 $(0, 0)$ を頂点とする放物線
- $y$ 軸に対して左右対称である（$x = 1$ と $x = -1$ で同じ $y$ の値）
- $x$ が $0$ から離れるほど、$y$ の値は急激に大きくなる
実際に解いてみよう
ステップ1：まずは簡単な問題で練習
$y = x^2$ のグラフについて、$x = 2$ のとき $y$ の値を求めよ。
（💡 代入して計算するだけ！）
$y = x^2$ に $x = 2$ を代入する。
答え：$y = 4$
（💡 つまり、点 $(2, 4)$ がグラフ上にあるということ）
ステップ2：表を作ってグラフを書く
$y = 2x^2$ のグラフを書け。
まず、$x$ の値を決めて表を作る。
（$x = -2, -1, 0, 1, 2$ の5点で十分）
それぞれの $x$ を $y = 2x^2$ に代入して $y$ を計算する。
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $y = 2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
座標平面に点をプロットし、滑らかな曲線でつなぐ。
- $y = 2x^2$（実線）は $y = x^2$（点線）より縦に細長い
- 係数 $a = 2$ が大きいほど、グラフは急な角度で上がる
- どちらも頂点は原点 $(0, 0)$ で同じ
ステップ3：係数が負の場合
$y = -x^2$ のグラフを書け。
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $y = -x^2$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ |
- $a < 0$ のとき、グラフは下に開く（山型）
- 頂点が放物線の最も高い点になる
- $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸で折り返した形になる
よくある間違いと対策
$x^2$ の計算ミスに注意
負の数の2乗は必ず正になる。
$(-3)^2 = -9$
✅ 正しくは：$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
$-x^2$ と $(-x)^2$ の違いに注意
マイナスがどこにかかっているかで結果が変わる。
$-x^2$：$x$ を2乗してから、マイナスをつける（$x=2$ なら $-4$）
$(-x)^2$：$-x$ 全体を2乗する（$x=2$ なら $(-2)^2 = 4$）
点と点を直線でつながない
二次関数のグラフは曲線である。直線でつなぐとバツになる。
フリーハンドで、点と点を滑らかな曲線で結ぶ。原点付近は特にゆるやかに曲がる。
係数 $a$ による変化（まとめ）
| 係数 $a$ の条件 | グラフの形 |
|---|---|
| $a > 0$（正） | 上に開く（お椀型）、頂点が最小 |
| $a < 0$（負） | 下に開く（山型）、頂点が最大 |
| $|a|$ が大きい | 縦に細長い（急な傾斜） |
| $|a|$ が小さい | 横に広い（ゆるやかな傾斜） |
練習問題
(1) 頂点の座標を答えよ。
(2) グラフは上に開くか、下に開くか。
(3) $y = x^2$ のグラフと比べて、縦に細長いか、横に広いか。
① $y = x^2$ ② $y = -2x^2$
この単元のよくある質問
Q. なぜ「放物線」という名前なのですか？
A. ボールを投げたとき、空中を飛ぶ軌道がこの曲線と同じ形になるからである。「放物」は「物を放り投げる」という意味。日常でよく見かける形である。
Q. $x$ の値はどこまで計算すればいいですか？
A. 一般的に $x = -3$ から $x = 3$ まで計算すれば十分である。ただし、$y$ の値がグラフ用紙からはみ出すほど大きくなる場合は、範囲を狭めてもよい。
Q. $y = ax^2$ の $a$ が分数のとき、どうすればいいですか？
A. 計算方法は同じである。例えば $y = \dfrac{1}{2}x^2$ で $x = 2$ なら、$y = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$ となる。分数のかけ算に注意すれば問題ない。
まとめ
この記事では $y = ax^2$ のグラフの書き方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
✅ これができればOK
- □ $x$ の値を代入して $y$ の値を計算できる
- □ 表を作って座標を求められる
- □ 点をプロットし、滑らかな曲線でつなげる
- □ 係数 $a$ の符号から、グラフの向きがわかる
- □ 係数 $a$ の絶対値から、グラフの開き具合がわかる
🎯 $y = ax^2$ のグラフの特徴
- 頂点は必ず原点 $(0, 0)$
- 軸は $y$ 軸（左右対称）
- $a > 0$ なら上に開く、$a < 0$ なら下に開く
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