「二次関数の式を求めよ」という問題で、「グラフは与えられているのに、式が作れない」と困っていないだろうか。
公式 $y = ax^2$ は知っている。でも「$a$ をどうやって求めるのか」がわからない。そんな経験はないだろうか。
実は、グラフが通る点の座標がわかれば、$a$ は「代入して計算」するだけで求まる。難しい発想は一切不要である。
🔰 初めての方へ：数学が苦手でも大丈夫。この記事では「座標を代入して、$a$ の方程式を解く」という1つの手順だけをマスターする。手順通りにやれば必ず解ける。
この記事で使う用語
先に、この記事で登場する専門用語をまとめておく。わからない言葉が出てきたら、ここに戻って確認しよう。
- 二次関数（にじかんすう）
- $y = ax^2$ の形で表される関数のこと。グラフは放物線（パラボラ）になる。
- 座標（ざひょう）
- 点の位置を $(x, y)$ の形で表したもの。例えば $(2, 8)$ は「$x = 2$、$y = 8$ の位置にある点」を意味する。
- 係数
- 文字の前についている数のこと。$y = 3x^2$ なら「3」が $x^2$ の係数。この記事では $a$ のことを指す。
- 代入（だいにゅう）
- 文字の部分に具体的な数値を入れること。$y = ax^2$ に $x = 2$ を代入すると $y = a \times 2^2 = 4a$ になる。
- 通る点
- グラフがその点の上を通過すること。点 $(2, 8)$ を通るなら、$x = 2$ のとき $y = 8$ になる。
道具（公式）を手に入れる
証明は不要。「こういう道具がある」と知っていれば、あとは使い方を覚えるだけである。
グラフが通る点の座標から、二次関数の式 $y = ax^2$ の $a$ の値を求められる。
この式の各記号の意味は以下の通りである。
- $y$：点の $y$ 座標（縦の位置）
- $a$：グラフの開き具合を決める係数（これを求めたい）
- $x$：点の $x$ 座標（横の位置）
「グラフが点 $(p, q)$ を通る」とは、「$x = p$、$y = q$ のとき式が成り立つ」ことを意味する。
だから座標を式に代入すれば、$a$ だけが未知数の方程式ができる。
使い方マニュアル
$a$ を求める手順は、たった3ステップである。
通る点の座標 $(x, y)$ を確認する
（なぜ？：代入する数値を間違えると、答えも間違うため）
$y = ax^2$ に $x$ と $y$ の値を代入する
（なぜ？：代入すると、$a$ だけが未知数の方程式ができるため）
方程式を解いて $a$ を求める
（なぜ？：$a$ の値がわかれば、式が確定するため）
図で理解する
下の図は、二次関数 $y = ax^2$ のグラフと、そのグラフが通る点を示している。
- 青い曲線：二次関数 $y = ax^2$ のグラフ（放物線）
- 赤い点：グラフが通る点（座標が与えられている）
- 点線：点の $x$ 座標と $y$ 座標を示す補助線
- 点 $(2, 8)$ は放物線の上にある（グラフがこの点を通る）
- $x = 2$ のとき $y = 8$ なので、式に代入すると $8 = a \times 2^2 = 4a$
- これを解くと $a = 2$ となり、式は $y = 2x^2$ と確定する
実際に解いてみよう
ステップ1：まずは簡単な問題で練習
二次関数 $y = ax^2$ のグラフが点 $(1, 3)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。
（💡 $x = 1$ なので、$x^2$ も 1 になる。計算がとても簡単！）
通る点の座標を確認する。
点 $(1, 3)$ なので、$x = 1$、$y = 3$ である。
$y = ax^2$ に代入する。
計算して $a$ を求める。
よって、$a = 3$
答え：$a = 3$
（💡 答えの意味：式は $y = 3x^2$。$x = 1$ を代入すると $y = 3 \times 1^2 = 3$ で、点 $(1, 3)$ を通ることが確認できる ✓）
ステップ2：標準的な問題に挑戦
二次関数 $y = ax^2$ のグラフが点 $(2, 8)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。
通る点の座標を確認する。
点 $(2, 8)$ なので、$x = 2$、$y = 8$ である。
$y = ax^2$ に代入する。
（$x$ の場所に 2、$y$ の場所に 8 を入れる）
計算して $a$ を求める。
（まず $2^2 = 4$ を計算してから、$a$ を求める）
答え：$a = 2$
（💡 検算：$y = 2x^2$ に $x = 2$ を代入すると $y = 2 \times 4 = 8$。点 $(2, 8)$ を通る ✓）
ステップ3：少し複雑な例
二次関数 $y = ax^2$ のグラフが点 $(3, -18)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。
通る点の座標を確認する。
点 $(3, -18)$ なので、$x = 3$、$y = -18$ である。
（💡 $y$ が負の数でも、同じ手順でOK！）
$y = ax^2$ に代入する。
計算して $a$ を求める。
答え：$a = -2$
（💡 $a$ が負なので、グラフは上に凸（開きが下向き）の放物線になる。検算：$y = -2 \times 9 = -18$ ✓）
ステップ4：分数になるパターン
二次関数 $y = ax^2$ のグラフが点 $(4, 8)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。
通る点の座標を確認する。
点 $(4, 8)$ なので、$x = 4$、$y = 8$ である。
$y = ax^2$ に代入する。
計算して $a$ を求める。
（💡 分数は約分して最も簡単な形にする）
答え：$a = \dfrac{1}{2}$
（💡 検算：$y = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ ✓）
よくある間違いと対策
$x$ と $y$ を逆に代入してしまう
座標 $(2, 8)$ のとき、$x = 2$、$y = 8$ である。$x = 8$、$y = 2$ と逆にしないこと。
$(2, 8)$ を「$x = 8$、$y = 2$」と読み間違える
✅ 覚え方：座標は「$(x, y)$」の順番。「横、縦」または「右、上」と覚える
$x^2$ の計算を忘れる
$x = 3$ のとき、式に代入するのは「$3$」ではなく「$3^2 = 9$」である。
$y = ax^2$ に $x = 3$ を代入して「$y = 3a$」としてしまう
✅ 正しくは：$y = a \times 3^2 = 9a$
符号のミス
$y$ が負の数のとき、$a$ も負になることがある。計算後に検算で確認しよう。
求めた $a$ を使って、元の点を通るか確認する。
式に $x$ を代入して、$y$ と一致すればOK。
練習問題
この単元のよくある質問
Q. 点の座標が分数のときはどうすればいいですか？
A. 同じ手順で代入すればよい。例えば点 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ を通るなら、$1 = a \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}a$ となり、$a = 4$ が求まる。分数の計算に注意しよう。
Q. $x = 0$ の点が与えられたらどうなりますか？
A. $y = ax^2$ に $x = 0$ を代入すると、$y = a \times 0^2 = 0$ となる。つまり、原点 $(0, 0)$ 以外の「$x = 0$ の点」が与えられることはない。もし $(0, 0)$ が与えられた場合、$a$ は任意の値をとれるため、他の点の情報も必要になる。
Q. 2つの点が与えられたときはどうすればいいですか？
A. $y = ax^2$ の形であれば、$a$ は1つしかないので、1点の情報だけで決まる。2点が与えられた場合は、どちらを使っても同じ答えになるはずである。もし違う答えになったら、問題の条件を見直そう。
まとめ
この記事では、二次関数 $y = ax^2$ のグラフが通る点から $a$ の値を求める方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
✅ これができればOK
- □ 通る点の座標 $(x, y)$ を正しく読み取れる
- □ $y = ax^2$ に座標を代入できる（$x^2$ の計算を忘れない）
- □ $a$ についての方程式を解ける
- □ 答えを代入して検算できる
📝 手順のおさらい
- 座標を確認：$(x, y)$ の値をメモ
- 代入：$y = ax^2$ に $x$ と $y$ を入れる
- 計算：$a = \dfrac{y}{x^2}$ を計算
- 検算：求めた $a$ を使って、元の点を通るか確認
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