反比例のグラフを見て「座標を読み取れ」と言われたとき、どこを見ればいいかわからなくなっていないだろうか。
「グラフは曲線だし、目盛りの間にある点はどう読むの？」「式を求めろって言われても、どの数字を使えばいいの？」——こんな疑問を抱えている人は多い。
実は、反比例のグラフの読み取りには決まった手順がある。この記事では、座標の読み取り方から式の決定まで、順を追って解説する。
座標の読み取りとは？
グラフ上の点の位置を、$x$ 座標と $y$ 座標の組で表すことを「座標を読み取る」という。
座標とは、点の位置を表す数のペアである。横軸の値が $x$ 座標、縦軸の値が $y$ 座標である。点 $(3, 4)$ は「$x$ が $3$、$y$ が $4$ の位置にある点」を意味する。
例えば、下の点Aの座標を読み取ってみよう。
点Aから垂直に下ろした線が $x$ 軸と交わる点を読むと、$x = 2$ である。
点Aから水平に左へ伸ばした線が $y$ 軸と交わる点を読むと、$y = 6$ である。
よって、点Aの座標は $(2, 6)$ と読み取れる。
反比例のグラフから座標を読み取る
反比例のグラフは曲線なので、座標を読み取るにはコツがいる。曲線上の点から、$x$ 軸と $y$ 軸に向かって垂直に線を引くイメージを持とう。
このグラフは $y = \dfrac{12}{x}$ である。3つの点の座標を読み取ってみよう。
反比例のグラフでは、$x$ の値が大きくなると $y$ の値は小さくなる。これは反比例の特徴である。
グラフから式を決定する方法
反比例の式は $y = \dfrac{a}{x}$ である。グラフ上の1点の座標がわかれば、比例定数 $a$ を求めることができる。
比例定数とは、$y = \dfrac{a}{x}$ の $a$ のことである。反比例では $xy = a$（$x$ と $y$ の積が一定）という性質がある。
式を決定する手順
例題：グラフから式を求める
解き方
よって、この反比例の式は $y = \dfrac{18}{x}$ である。
座標が目盛りの間にあるとき
グラフ上の点が目盛りぴったりではなく、目盛りの間にある場合もある。そのときは、目盛りを細かく読む必要がある。
この例では、$x$ 座標は $1$ と $2$ の真ん中にあるので $x = 1.5$ である。$y$ 座標は目盛りぴったり $y = 2$ である。
座標が $(1.5, 2)$ とわかったので、比例定数は $a = 1.5 \times 2 = 3$ となり、式は $y = \dfrac{3}{x}$ である。
目盛りの間の点を読むときは、「主目盛りのいくつ分か」を数えよう。1と2の真ん中なら1.5、1から4分の1なら1.25となる。
よくある間違いと対策
横軸が $x$、縦軸が $y$ である。「横→縦」の順で読むと覚えよう。アルファベット順でも x → y だ。
比例では $a = \dfrac{y}{x}$（割り算）だが、反比例では $a = xy$（掛け算）である。「反比例は掛ける」と覚えよう。
直線なら比例、曲線（双曲線）なら反比例である。形で見分けよう。
この単元のよくある質問
Q. 目盛りにぴったり乗っていない点はどう読めばいいですか？
A. 目盛りの間を細かく分割して読みます。例えば、1と2の真ん中なら1.5、1から4分の1の位置なら1.25です。問題によっては、読み取りやすい別の点を使ってもよい場合があります。
Q. 反比例と比例の式の見分け方は？
A. 式の形で見分けます。$y = ax$ なら比例、$y = \dfrac{a}{x}$ なら反比例です。グラフで見ると、直線なら比例、曲線（双曲線）なら反比例です。
Q. 比例定数が負の数になることはありますか？
A. あります。グラフが第2象限と第4象限を通る場合、比例定数は負です。例えば $y = -\dfrac{6}{x}$ のグラフは、$x > 0$ のとき $y < 0$、$x < 0$ のとき $y > 0$ となります。
練習問題
まとめ
この記事では、反比例のグラフから座標を読み取り、式を決定する方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 座標は「横→縦」（$x$ → $y$）の順で読む
- 反比例の比例定数は $a = xy$（掛け算）で求める
- 目盛りの間にある点は、細かく分割して読む
- グラフが曲線（双曲線）なら反比例、直線なら比例
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