【比例】関数とは｜変数と関係を表す式【中1数学】【基礎】

そもそも「変数」とは何か？

関数を理解するには、まず「変数」という言葉を知る必要がある。

変数へんすうとは、「いろいろな値に変わることができる文字」のことである。数学では $x$ や $y$ などのアルファベットで表す。

例えば、次のような場面を考えてみよう。

「1個80円のりんごを $x$ 個買うと、代金は $y$ 円になる」

ここで、$x$ は「買う個数」、$y$ は「代金」を表している。

• $x = 1$ のとき、$y = 80$
• $x = 2$ のとき、$y = 160$
• $x = 3$ のとき、$y = 240$

このように、$x$ の値が変わると、それに応おうじて $y$ の値も変わる。だから「変数」と呼ぶのである。

「関数」とは何か？

では、いよいよ「関数」の定義に入ろう。

関数かんすうとは、「$x$ の値を1つ決めると、$y$ の値がただ1つに決まる関係」のことである。

さきほどのりんごの例を思い出してほしい。

• $x = 2$ と決めると、$y = 160$ にただ1つ決まる
• $x = 5$ と決めると、$y = 400$ にただ1つ決まる

「$x$ を決めれば $y$ が1つに決まる」——この関係があるとき、「$y$ は $x$ の関数である」という。

言い換えると、関数とは「入力（$x$）を入れると、出力（$y$）が1つだけ出てくる装置そうち」のようなものである。

関数を図で理解する

関数のイメージをつかむために、「入力と出力の関係」をアニメーションで見てみよう。

このように、関数は「$x$ を入れると $y$ が出てくる箱」と考えるとわかりやすい。

大切なのは、同じ $x$ を入れたら、いつも同じ $y$ が出てくるということである。$x = 3$ を入れて、あるときは $y = 240$、別のときは $y = 300$ と出てきたら、それは関数ではない。

関数を式で表す

関数の「ルール」は、式で表すことができる。

りんごの例では、

と表せる。これが「関数を表す式」である。

この式を使えば、$x$ の値からいつでも $y$ の値を計算できる。

「関数」と「関数でないもの」の違い

ここで、「関数である」と「関数でない」の違いを確認しておこう。

関数の例

例1：正方形の1辺の長さ $x$ と面積 $y$

$x = 3$ と決めれば、$y = 9$ とただ1つに決まる。これは関数である。

例2：時速40kmで $x$ 時間走ったときの距離 $y$

$x = 2$ と決めれば、$y = 80$ とただ1つに決まる。これも関数である。

関数でない例

例3：$x$ 歳の人の身長 $y$

$x = 14$（14歳）と決めても、身長は人によって違う。160cmの人もいれば、170cmの人もいる。$y$ が1つに決まらないので、これは関数ではない。

ポイント：$x$ を決めたとき、$y$ が「ただ1つ」に決まるかどうかが、関数かどうかの判断基準である。

関数を表す2つの表現

関数は、式以外にも「表」や「グラフ」で表すことができる。

表で表す

$y = 80x$ を表にすると次のようになる。

グラフで表す

表の値を座標にとってグラフを描くと、関数の「形」が見える。

グラフを見ると、すべての点が一直線上に並んでいることがわかる。$y = 80x$ のように、$y = ax$ の形で表される関数は、原点を通る直線になる。

よくある質問と答え

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