「グラフの交点の座標を求めなさい」という問題で、どうやって解けばいいかわからず手が止まった経験はないだろうか。
2本の直線の式は与えられているのに、座標の求め方がわからない。グラフを描いて読み取ろうとしても、目盛りの間に交点があると正確な値が出せない。そんな悩みを抱えている人は多い。
実は、交点の座標は「連立方程式を解く」だけで求められる。グラフを正確に描く必要はない。この記事では、なぜ連立方程式で交点が求まるのかを図解し、確実に解けるようになるまで手順を解説する。
そもそも「交点」とは何か
2本の直線がある場所で交わるとき、その交わった点を交点という。
交点とは、2つのグラフが同時に通る点のことである。言い換えると、どちらの直線の式にも当てはまる $x$ と $y$ の組み合わせが交点の座標になる。
例えば、直線 $y = 2x + 1$ と直線 $y = -x + 4$ の交点を考えてみよう。
交点では、2つの直線が重なっている。つまり、同じ点 $(x, y)$ を両方の直線が通る。これは次のことを意味する。
- $y = 2x + 1$ が成り立つ
- $y = -x + 4$ も同時に成り立つ
2つの式が同時に成り立つ $x$ と $y$ を求める——これはまさに連立方程式である。
連立方程式で交点が求まる仕組み
次のアニメーションで、連立方程式と交点の関係を確認しよう。
図を見るとわかるように、$y = 2x + 1$（赤い直線）と $y = -x + 4$（青い直線）は点 $(1, 3)$ で交わっている。
この交点では、$x = 1$、$y = 3$ という値が、どちらの式にも当てはまる。確認してみよう。
どちらも成り立っている。これが「交点の座標は連立方程式の解である」という意味である。
交点の座標を求める手順
連立方程式を解いて交点の座標を求める手順を、ステップごとに確認しよう。
2つの直線の式を連立方程式として並べる
例：$y = 2x + 1$ と $y = -x + 4$ の交点を求める場合
代入法または加減法で解く
どちらも $y = $ の形なので、代入法が便利である。
「$y$ が等しい」ことを利用して、右辺どうしをイコールで結ぶ。
$x$ について解く
$x$ の値をどちらかの式に代入して $y$ を求める
$y = 2x + 1$ に $x = 1$ を代入する。
答えを $(x, y)$ の形で書く
例題で手順を確認する
もう1つ例題を解いてみよう。
例題：直線 $y = \dfrac{1}{2}x + 2$ と直線 $y = -2x + 7$ の交点の座標を求めよ。
連立方程式を立てる。
どちらも $y = $ の形なので、右辺どうしを等しいとおく。
$x$ について解く。分数をなくすため、両辺に $2$ をかける。
$x = 2$ を $y = \dfrac{1}{2}x + 2$ に代入する。
答え：交点の座標は $(2, 3)$
確かめ：もう一方の式 $y = -2x + 7$ に $x = 2$ を代入すると、$y = -2 \times 2 + 7 = -4 + 7 = 3$ となり、確かに一致する。
グラフで解を確認する
計算で求めた交点が、グラフ上でも正しいか確認してみよう。
グラフを見ると、2本の直線は確かに点 $(2, 3)$ で交わっている。計算結果とグラフが一致していることがわかる。
よくある間違いと対策
交点を求めるときによくある間違いを3つ紹介する。
$x$ だけ求めて終わる
座標は $(x, y)$ の2つの値で表す。$x$ を求めたら、必ず $y$ も計算すること。
移項のときに符号を間違える
移項すると符号が変わる。$+$ は $-$ に、$-$ は $+$ になることを忘れずに。
例：$2x + 1 = -x + 4$ のとき、$-x$ を左辺に移項すると $+x$ になる。
答えの書き方を間違える
交点の座標は $(x, y)$ の形で書く。「$x = 1, y = 3$」ではなく「$(1, 3)$」と書くこと。
よくある質問と答え
Q. 2本の直線が平行で交わらないときはどうなるの？
A. 連立方程式を解くと、「$0 = 5$」のような矛盾した式が出てくる。この場合、交点は存在しない（解なし）。
Q. どちらの式に代入しても同じ答えになるの？
A. 同じ答えになる。交点ではどちらの式も成り立つので、どちらに代入しても同じ $y$ の値が求まる。計算が簡単な方を選ぶとよい。
Q. グラフを描かずに計算だけで求めていいの？
A. もちろん問題ない。むしろ計算で求める方が正確である。グラフから読み取ると、小数や分数の値は正確に読み取れないことがある。
練習問題
まとめ
この記事では、2直線の交点の座標を連立方程式で求める方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 交点とは、2本の直線が同時に通る点のことである
- 交点の座標は、2つの式を連立方程式として解くことで求まる
- $y = $ の形どうしなら、右辺を等しいとおいて $x$ を求め、その後 $y$ を求める
- 答えは $(x, y)$ の形で書く
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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