「グラフを見て式を答えなさい」という問題で、何をどう読み取ればいいのかわからず、手が止まった経験はないだろうか。
傾きと切片、どちらが何を表しているのか曖昧なまま解こうとすると、毎回「たぶんこれかな」と不安なまま答えを書くことになる。テストで同じ形式の問題が出ても、自信を持って解けない。
実は、グラフから式を求める手順は決まっている。「切片を読む」「傾きを計算する」という2つのステップを順番に踏めば、どんなグラフでも確実に式が求められる。この記事では、その手順を図解とともに身につけていく。
そもそも「傾き」と「切片」とは？
1次関数の式は $y = ax + b$ の形で表される。この $a$ と $b$ にはそれぞれ名前がついている。
傾きとは、グラフの「坂の急さ」を表す数である。式では $a$ の部分にあたる。傾きが大きいほど急な坂、小さいほどゆるやかな坂になる。
切片とは、グラフが $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標である。式では $b$ の部分にあたる。「$y$ 軸との交点」と覚えておこう。
例えば、$y = 2x + 3$ という式があるとする。
- 傾き $a = 2$（右に1進むと上に2進む）
- 切片 $b = 3$（$y$ 軸と点 $(0, 3)$ で交わる）
グラフから式を求めるとは、この $a$ と $b$ の値をグラフから読み取る作業である。
グラフの読み取りを図で理解する
実際のグラフを見ながら、切片と傾きの読み取り方を確認しよう。
アニメーションの説明：
- まずグラフ全体が表示される
- $y$ 軸との交点（赤い点）を確認 → これが切片 $b = 2$
- グラフ上の2点（緑の点）を選ぶ → $(2, 3)$ と $(6, 5)$
- $x$ の増加量を測る → $6 – 2 = 4$
- $y$ の増加量を測る → $5 – 3 = 2$
- 傾きを計算 → $a = \dfrac{2}{4} = 0.5$
この手順で、式 $y = 0.5x + 2$ が求められる。
グラフから式を求める手順
上のアニメーションで見た流れを、手順としてまとめよう。
グラフが $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標を読む。これが $b$ の値である。
座標が読み取りやすい点（格子点）を2つ選ぶ。できるだけ離れた点を選ぶと誤差が小さくなる。
2点の座標を $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ とすると、傾きは次の式で求める。
$y = ax + b$ の $a$ と $b$ に値を代入して完成。
例題で手順を確認しよう
次のグラフから1次関数の式を求めてみよう。
グラフは $y$ 軸と $y = 3$ の位置で交わっている。
よって、切片 $b = 3$
格子点を探すと、$(0, 3)$ と $(2, 0)$ が読み取れる。
$y = ax + b$ に $a = -\dfrac{3}{2}$、$b = 3$ を代入する。
傾きがマイナスになるのは、グラフが右下がりのときである。右上がりならプラス、右下がりならマイナスと覚えておこう。
よくある間違いと対策
グラフの読み取りで間違えやすいポイントを確認しておこう。
傾き $= \dfrac{yの増加量}{xの増加量}$ である。分子が $y$、分母が $x$ と覚えよう。「$y$ が上」と覚えると間違えにくい。
「切片」と言ったら $y$ 軸との交点（$y$ 切片）のことである。$x$ 軸との交点は「$x$ 切片」と呼び、1次関数の式 $y = ax + b$ の $b$ とは関係ない。
右下がりのグラフは傾きがマイナスになる。計算で符号を忘れないよう、グラフの傾き具合を先に確認しておこう。
この単元のよくある質問
Q. 2点を選ぶとき、どの点を選んでも答えは同じになる？
A. 同じ直線上の点なら、どの2点を選んでも傾きは同じ値になる。ただし、座標を正確に読み取れる格子点を選ぶことで、計算ミスを防げる。
Q. 切片が目盛りの間にあるときはどうする？
A. 切片が正確に読み取れない場合は、まず2点から傾きを求め、その後どちらかの点の座標を式に代入して切片を計算で求める方法がある。
Q. 傾きが分数のままでいい？小数に直すべき？
A. 特に指定がなければ、分数のままで問題ない。$\dfrac{3}{2}$ と $1.5$ は同じ値であるが、分数の方が正確な値を表しているため、数学では分数で答えることが多い。
練習問題
まとめ
この記事では、1次関数のグラフから式を求める方法を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 切片 $b$ は $y$ 軸との交点の $y$ 座標
- 傾き $a$ は $\dfrac{yの増加量}{xの増加量}$ で計算する
- 右上がりなら傾きはプラス、右下がりならマイナス
- 格子点を選ぶと読み取りミスが減る
グラフを見たら「まず切片、次に傾き」の順で読み取る習慣をつけよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント