【連立方程式】3元1次連立方程式｜1つ消去して2元に帰着

そもそも3元1次連立方程式とは？

3元1次連立方程式とは、文字が3つある連立方程式のことである。

「元げん」とは、式に含まれる未知数（求めたい文字）の個数のことである。2元なら文字2つ、3元なら文字3つという意味だ。

例えば、次のような式が3元1次連立方程式である。

この式には $x$, $y$, $z$ という3つの文字が含まれている。

3つの文字を求めるには、3つの式が必要である。これは「未知数の数と式の数が同じでなければ解けない」という基本原則による。

解き方の基本方針

3元1次連立方程式を解く方針は非常にシンプルである。

1つの文字を消去して、2元の連立方程式に帰着させる

身近な例で考えてみよう。

「3人でじゃんけんをして勝者を1人決めたい」とき、最初から3人で勝負するのは大変である。まず2人で勝負して1人に絞り、残った1人と最後の勝負をする方がわかりやすい。

連立方程式も同じである。3つの文字をいきなり求めようとせず、まず1つ消して2つにする。2つになれば、いつもの加減法かげんほうや代入法だいにゅうほうで解ける。

3元1次連立方程式の解き方手順

例題で手順を確認する

次の連立方程式を解いてみよう。

手順1：消去する文字を決める

$z$ の係数を見ると、①と②では $+1$、③では $-1$ である。

①と③を足せば $z$ が消えるので、$z$ を消去することにする。

手順2：文字 $z$ を消去する

【①と②から $z$ を消去】

①と②を引き算する（②から①を引く）。

引き算のとき、カッコ内の全ての項の符号が変わることに注意。$+(x + y + z)$ が $-x – y – z$ になる。

【①と③から $z$ を消去】

①と③を足し算する。

手順3：2元連立方程式を解く

④と⑤から $x$ と $y$ を求める。

④を2倍して⑤から引く。

計算が煩雑になったので、別の方法も試してみる。④を $x = 2y – 3$ と変形して⑤に代入する方法もある。

④から $x$ を求める式を作る。

④”を⑤に代入する。

$y = \dfrac{17}{7}$ を④”に代入して $x$ を求める。

手順4：残りの文字 $z$ を求める

$x = \dfrac{13}{7}$, $y = \dfrac{17}{7}$ を①に代入する。

答え

検算

求めた値を元の式に代入して確かめる。

①の検算：$\dfrac{13}{7} + \dfrac{17}{7} + \dfrac{12}{7} = \dfrac{42}{7} = 6$ ✓

②の検算：$2 \times \dfrac{13}{7} – \dfrac{17}{7} + \dfrac{12}{7} = \dfrac{26 – 17 + 12}{7} = \dfrac{21}{7} = 3$ ✓

③の検算：$\dfrac{13}{7} + 2 \times \dfrac{17}{7} – \dfrac{12}{7} = \dfrac{13 + 34 – 12}{7} = \dfrac{35}{7} = 5$ ✓

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