【連立方程式】代入法｜一方の式を代入して解く
「連立方程式、加減法は分かるけど代入法がよく分からない」と困っていないだろうか。
代入法は、一方の式をもう一方に「入れ替える」だけの方法である。難しく考える必要はない。
この記事を読めば、代入法の手順が分かり、どんな連立方程式でも解けるようになる。
そもそも代入法とは？
代入法とは、連立方程式を解く方法の1つである。
代入とは、「ある文字を別の式に置き換える」ことである。例えば $y = 3$ のとき、$2y$ に代入すると $2 \times 3 = 6$ になる。
具体的な例で見てみよう。次の連立方程式を考える。
1つ目の式を見ると、$y$ が $x + 1$ に等しいことが分かる。
ならば、2つ目の式の $y$ を $x + 1$ に置き換えてしまえばよい。
これで $x$ だけの方程式になった。これが代入法の基本的な考え方である。
代入法を使う場面
代入法は、次のような形の連立方程式で特に有効である。
- $y = 〇〇$ の形になっている式がある
- $x = 〇〇$ の形になっている式がある
- どちらかの文字が簡単に表せる
「$y = $ 〇〇」や「$x = $ 〇〇」の形を「〇〇について解いた形」という。この形があれば、代入法がスムーズに使える。
代入法の手順
代入法は、次の3ステップで解く。
一方の式を「$y = 〇〇$」または「$x = 〇〇$」の形にする
すでにこの形になっている場合は、そのまま使う。
もう一方の式に代入する
$y$（または $x$）を、ステップ1で作った式で置き換える。
方程式を解き、もう1つの文字も求める
1つの文字が求まったら、それを代入してもう1つの文字を求める。
例題1：$y = 〇〇$ の形がある場合
次の連立方程式を代入法で解いてみよう。
ステップ1：式を確認する
①はすでに $y = 2x – 1$ の形になっている。このまま使える。
ステップ2：②に代入する
②の $y$ を $2x – 1$ に置き換える。
代入するときは、置き換える部分を括弧で囲むのがポイントである。符号のミスを防げる。
ステップ3：方程式を解く
括弧を外して、$x$ について解く。
$x = 2$ を①に代入して $y$ を求める。
答え：$x = 2$、$y = 3$
確かめ
②に $x = 2$、$y = 3$ を代入して確認する。
例題2：式を変形してから代入する場合
次の連立方程式を解いてみよう。
どちらの式も「$y = 〇〇$」の形になっていない。
そこで、まず①を変形する。
ステップ1：①を $y = 〇〇$ の形にする
移項とは、等式の片方の辺から反対の辺に項を移すことである。移すときは符号が変わる。
ステップ2：②に代入する
②の $y$ を $5 – x$ に置き換える。
「$-y$」に代入するときは特に注意。$-(5 – x)$ となり、括弧の前にマイナスがつく。
ステップ3：方程式を解く
括弧を外す。$-(5 – x) = -5 + x$ である。
$x = 3$ を①’に代入して $y$ を求める。
答え：$x = 3$、$y = 2$
例題3：$x = 〇〇$ の形がある場合
次の連立方程式を解いてみよう。
ステップ1：式を確認する
①はすでに $x = 3y + 2$ の形になっている。
ステップ2：②に代入する
②の $x$ を $3y + 2$ に置き換える。
ステップ3：方程式を解く
括弧を展開する。$4(3y + 2) = 12y + 8$ である。
$y = 1$ を①に代入して $x$ を求める。
答え：$x = 5$、$y = 1$
よくある間違いと対策
括弧をつけ忘れる
代入するときは必ず括弧で囲む。特に $-y$ に代入するとき、$-(5 – x)$ を $-5 – x$ としてしまう間違いが多い。正しくは $-5 + x$ である。
分配法則のミス
$4(3y + 2)$ を計算するとき、$4 \times 3y = 12y$ と $4 \times 2 = 8$ の両方に掛けることを忘れない。
もう1つの文字を求め忘れる
$x$ だけ求めて終わりにしない。必ず $y$ も求めて、連立方程式の解を完成させる。
代入法と加減法の使い分け
| 条件 | おすすめの方法 |
|---|---|
| $y = 〇〇$ や $x = 〇〇$ の形がある | 代入法 |
| 係数が揃っている（$2x$ と $2x$ など） | 加減法 |
| 係数を揃えやすい | 加減法 |
| どちらの文字も簡単に表せない | 加減法 |
どちらの方法でも正しい答えは出る。自分が計算しやすいと思う方法を選べばよい。
この単元のよくある質問
Q. 代入法と加減法、どちらを先に覚えるべきですか？
A. どちらから覚えても問題ない。ただし、代入法は「$y = 〇〇$」の形がある問題で特に有効なので、そのような形を見たら代入法を思い出せるようにしておくとよい。
Q. 代入するときに括弧をつける理由は何ですか？
A. 符号の間違いを防ぐためである。特に「$-y$」に代入するとき、括弧がないと $-(5 – x)$ のマイナスを正しく処理できず、計算ミスが起きやすい。
Q. どちらの式を変形すればいいか分からないときはどうすればよいですか？
A. 係数が1または-1の文字を探すとよい。例えば「$x + 2y = 5$」なら $x$ の係数が1なので、$x = 5 – 2y$ と変形しやすい。係数が大きい文字を選ぶと分数が出て計算が複雑になる。
練習問題
問題1 次の連立方程式を代入法で解け。
①を②に代入する。
$x = 2$ を①に代入する。
答え：$x = 2$、$y = 4$
問題2 次の連立方程式を代入法で解け。
②を $x = y + 2$ と変形する。
これを①に代入する。
$y = 1$ を②に代入する。
答え：$x = 3$、$y = 1$
問題3 次の連立方程式を代入法で解け。
①を②に代入する。
$y = \dfrac{13}{4}$ を①に代入する。
答え：$x = \dfrac{7}{2}$、$y = \dfrac{13}{4}$
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この記事で代入法の手順は理解できた。
しかし正直なところ、「明日テストで出たら解ける自信があるか」と聞かれたらどうだろう。
もし少しでも不安があるなら、あと10問だけ解いてみてほしい。
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まとめ
この記事では連立方程式の代入法について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 代入法は、一方の式をもう一方に「入れ替える」方法である
- 「$y = 〇〇$」や「$x = 〇〇$」の形があるときに有効である
- 代入するときは必ず括弧で囲み、符号のミスを防ぐ
- 1つの文字が求まったら、もう1つの文字も忘れずに求める
理解できたら、あとは手を動かすだけである。
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