ある中学校の昨年の生徒数は、男子と女子を合わせて500人だった。

今年は昨年に比べて、男子が10％増え、女子が5％減ったので、全体で490人になった。

昨年の男子と女子の人数をそれぞれ求めよ。

何を $x$、$y$ とするか決める

問われているものを文字で置くのが基本である。

昨年の男子を $x$ 人、昨年の女子を $y$ 人とする。

「等しい関係」を2つ見つける

【関係①】昨年の合計は500人

【関係②】今年の合計は490人

・今年の男子：$x$ の10％増 → $x \times 1.1 = 1.1x$

・今年の女子：$y$ の5％減 → $y \times 0.95 = 0.95y$

連立方程式を解く

①の式より $y = 500 – x$ を②に代入だいにゅうする。

$y = 500 – 100 = 400$

答えを確認する

・昨年の合計：$100 + 400 = 500$ ✓

・今年の合計：$100 \times 1.1 + 400 \times 0.95 = 110 + 380 = 490$ ✓

答え：昨年の男子 100人、女子 400人

ある店で、商品Aと商品Bを定価ていかで買うと合計3000円である。

商品Aを2割引、商品Bを1割引で買うと合計2500円になる。

商品A、Bの定価をそれぞれ求めよ。

商品Aの定価を $x$ 円、商品Bの定価を $y$ 円とする。

【関係①】定価の合計は3000円

【関係②】値引き後の合計は2500円

・Aの2割引：$x \times 0.8 = 0.8x$

・Bの1割引：$y \times 0.9 = 0.9y$

連立方程式を解く。

①より $y = 3000 – x$ を②に代入。

$y = 3000 – 2000 = 1000$

答え：商品Aの定価 2000円、商品Bの定価 1000円

濃度が8％の食塩水と濃度が3％の食塩水を混ぜて、濃度が5％の食塩水を600g作りたい。

それぞれ何gずつ混ぜればよいか。

何を $x$、$y$ とするか決める

8％の食塩水を $x$ g、3％の食塩水を $y$ gとする。

「等しい関係」を2つ見つける

【関係①】食塩水の量の合計

【関係②】食塩の量の合計（これが最重要！）

・8％の食塩水 $x$ gに含まれる食塩：$x \times \dfrac{8}{100} = 0.08x$ g

・3％の食塩水 $y$ gに含まれる食塩：$y \times \dfrac{3}{100} = 0.03y$ g

・5％の食塩水 600gに含まれる食塩：$600 \times \dfrac{5}{100} = 30$ g

連立方程式を解く

②の式を100倍して小数を消す。

①を3倍して②’から引く。

$y = 600 – 240 = 360$

答えを確認する

・食塩水の合計：$240 + 360 = 600$ g ✓

・食塩の合計：$240 \times 0.08 + 360 \times 0.03 = 19.2 + 10.8 = 30$ g ✓

答え：8％の食塩水 240g、3％の食塩水 360g

濃度10％の食塩水がある。これに水を200g加えたら濃度が6％になった。

最初の食塩水は何gあったか。

最初の食塩水を $x$ gとする。

（この問題は未知数が1つなので、1つの方程式で解ける）

食塩の量は変わらないことを使う

・最初の食塩の量：$x \times \dfrac{10}{100} = 0.1x$ g

・水を加えた後の食塩水の量：$x + 200$ g

・水を加えた後の食塩の量：$(x + 200) \times \dfrac{6}{100} = 0.06(x + 200)$ g

食塩の量が等しいので、

方程式を解く。

答え：最初の食塩水は 300g

「2割増」を $\times 0.2$ としてしまう

「2割増」は「もとの量 + 2割」なので、$\times 1.2$ が正しい。

「増」がついたら必ず $(1 + \text{割合})$ を掛ける。

食塩水の問題で「食塩水の量」で等式を立ててしまう

混ぜると食塩水の量は変わるが、食塩の量は変わらない。

必ず「食塩の量」で等式を立てること。

小数の計算ミス

$0.08x + 0.03y = 30$ のような式は、100倍して整数に直すと計算しやすい。

$8x + 3y = 3000$ の方がミスが減る。