「$\sqrt{\ }$って何？どう読むの？」——この記号を見た瞬間、頭が真っ白になった経験はないだろうか。
テストで急に登場して、読み方も書き方もわからず手が止まる。先生の説明を聞いても、なぜこんな記号を使うのかピンとこない。「自分だけわかっていないのでは」と不安になる。
安心してほしい。根号（$\sqrt{\ }$）は、実は「2乗したらこの数になる」という意味を表す、とてもシンプルな記号である。この記事では、根号の読み方・書き方・使い方を、図解とアニメーションで順を追って解説する。読み終わる頃には、根号を迷わず使えるようになっているはずだ。
そもそも根号とは？
根号とは、「$\sqrt{\ }$」という記号のことである。読み方は「ルート」と読む。
「ルート」は英語の「root（根）」から来ている。数学では「平方根を表す記号」という意味で使われる。
では、この記号は何を表しているのだろうか。
$\sqrt{9}$ という式を見てみよう。これは「2乗したら9になる正の数」を表している。
2乗したら9になる数は何だろうか？ $3 \times 3 = 9$ だから、答えは $3$ である。
同じように考えてみよう。
- $\sqrt{4}$ → 2乗したら4になる正の数 → $2 \times 2 = 4$ だから $\sqrt{4} = 2$
- $\sqrt{16}$ → 2乗したら16になる正の数 → $4 \times 4 = 16$ だから $\sqrt{16} = 4$
- $\sqrt{25}$ → 2乗したら25になる正の数 → $5 \times 5 = 25$ だから $\sqrt{25} = 5$
平方根とは「2乗するとその数になる数」のこと。例えば9の平方根は $3$ と $-3$ の2つあるが、根号 $\sqrt{\ }$ は正の方だけを表す。
根号が必要な理由
「$\sqrt{9} = 3$ なら、最初から3と書けばいいのでは？」と思うかもしれない。
実は、根号が本当に必要になるのは、整数で表せない数のときである。
例えば $\sqrt{2}$ を考えてみよう。2乗したら2になる正の数は何だろうか？
- $1 \times 1 = 1$ → 小さすぎる
- $2 \times 2 = 4$ → 大きすぎる
- $1.4 \times 1.4 = 1.96$ → 少し小さい
- $1.41 \times 1.41 = 1.9881$ → まだ小さい
- $1.414 \times 1.414 = 1.999396$ → もう少し…
どれだけ計算しても、ぴったり2になる数は見つからない。このような数を無理数という。
だからこそ、「2乗したら2になる正の数」を $\sqrt{2}$ と書いて表すのである。
$\sqrt{2} = 1.41421356…$ と無限に続く小数になる。「ひとよひとよにひとみごろ」という語呂合わせで覚える人も多い。
根号の書き方と読み方
書き方のルール
根号は、次の手順で書く。
まず、斜め線を左下から右上に引く
次に、横線を右に引く
横線の下に、中に入れる数を書く
横線は、中に入れる数の上を完全に覆うように書く。$\sqrt{12}$ のように2桁以上の数でも、すべての数字の上に線が来るようにする。
読み方
| 記号 | 読み方 |
|---|---|
| $\sqrt{2}$ | ルート2 |
| $\sqrt{3}$ | ルート3 |
| $\sqrt{5}$ | ルート5 |
| $\sqrt{10}$ | ルート10 |
根号を図で理解する
$\sqrt{2}$ がどんな数なのか、正方形を使って視覚的に理解してみよう。
この図が示しているのは、次のことである。
- 一辺が1の正方形 → 面積 = $1 \times 1 = 1$
- 一辺が $\sqrt{2}$ の正方形 → 面積 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$
つまり、$\sqrt{2}$ とは「2乗したら2になる正の数」であり、「面積2の正方形の一辺の長さ」でもあるのだ。
根号の基本的な性質
根号を使う上で、覚えておくべき基本的な性質がある。
性質1：根号の中と外の関係
$\sqrt{a}$ を2乗すると、根号が外れて $a$ になる。
具体例で確認しよう。
これは根号の定義そのものである。「$\sqrt{a}$ は2乗したら $a$ になる数」だから、当然2乗すれば $a$ に戻る。
性質2：完全平方数の根号
$1, 4, 9, 16, 25, …$ のように、整数の2乗で表せる数を完全平方数という。
完全平方数の根号は、整数で表せる。
| 完全平方数 | 根号の値 | 確認（2乗） |
|---|---|---|
| $\sqrt{1}$ | $1$ | $1^2 = 1$ ✓ |
| $\sqrt{4}$ | $2$ | $2^2 = 4$ ✓ |
| $\sqrt{9}$ | $3$ | $3^2 = 9$ ✓ |
| $\sqrt{16}$ | $4$ | $4^2 = 16$ ✓ |
| $\sqrt{25}$ | $5$ | $5^2 = 25$ ✓ |
| $\sqrt{36}$ | $6$ | $6^2 = 36$ ✓ |
| $\sqrt{49}$ | $7$ | $7^2 = 49$ ✓ |
| $\sqrt{64}$ | $8$ | $8^2 = 64$ ✓ |
| $\sqrt{81}$ | $9$ | $9^2 = 81$ ✓ |
| $\sqrt{100}$ | $10$ | $10^2 = 100$ ✓ |
この表は暗記しておくと、計算が速くなる。特に $\sqrt{1}$ から $\sqrt{100}$ までは、パッと答えられるようにしておこう。
根号の値を視覚的に理解する
$\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}$ など、いくつかの根号の値を数直線上で確認してみよう。
この図からわかるように、
- $\sqrt{1} = 1$、$\sqrt{4} = 2$、$\sqrt{9} = 3$ は整数になる
- $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ などは整数と整数の間にある
根号を含む数の大小比較
根号を含む数の大小を比べるには、次の方法を使う。
両方を2乗する
2乗した値の大小を比べる
正の数では、2乗した値が大きい方が元の数も大きい
例題：$\sqrt{7}$ と $3$ の大小を比較せよ。
正の数を2乗しても大小関係は変わらない。だから、2乗して比べることができる。
よくある質問と答え（FAQ）
Q. 根号の中に0や負の数は入れられますか？
A. $\sqrt{0} = 0$ は定義されています。しかし、負の数の根号（例：$\sqrt{-1}$）は中学数学では扱いません。2乗して負の数になる実数は存在しないからです。高校で「虚数」を学ぶと、負の数の根号も扱えるようになります。
Q. 電卓で√2を計算すると1.41421356…と出ますが、これをそのまま答えにしていいですか？
A. 問題文に「小数で答えよ」「小数第2位まで求めよ」などの指示がない限り、$\sqrt{2}$ のまま答えるのが正しいです。$\sqrt{2} = 1.41421356…$ は近似値であり、正確な値は $\sqrt{2}$ と書くしかありません。
Q. √4 = 2 と √4 = ±2 のどちらが正しいですか？
A. $\sqrt{4} = 2$ が正しいです。根号 $\sqrt{\ }$ は「正の平方根」のみを表す記号です。一方、「4の平方根を求めよ」という問題なら、答えは $\pm 2$ となります。記号 $\sqrt{\ }$ と「平方根」という言葉の意味の違いに注意しましょう。
よくある間違いと対策
根号を学び始めたときに、多くの人がつまずくポイントを紹介する。
間違い1：$\sqrt{4} = \pm 2$ と書いてしまう
正しくは：$\sqrt{4} = 2$
根号 $\sqrt{\ }$ は「正の平方根」だけを表す記号である。$-2$ は含まない。
「4の平方根は $\pm 2$」と「$\sqrt{4} = 2$」は両方正しい。前者は「平方根」という概念、後者は「根号」という記号についての文である。
間違い2：$\sqrt{9} + \sqrt{4} = \sqrt{13}$ と計算してしまう
正しくは：$\sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$
根号の中身を足し算することはできない。まず根号の値を計算してから足す。
間違い3：$(\sqrt{5})^2 = \sqrt{25}$ と計算してしまう
正しくは：$(\sqrt{5})^2 = 5$
$\sqrt{a}$ を2乗すると、根号が外れて $a$ になる。$\sqrt{25}$ を経由する必要はない。
練習問題
(1) $\sqrt{36}$ (2) $\sqrt{49}$ (3) $\sqrt{81}$
(1) $(\sqrt{3})^2$ (2) $(\sqrt{11})^2$
まとめ
この記事では、根号（$\sqrt{\ }$）の使い方と表し方について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 根号 $\sqrt{\ }$ は「ルート」と読み、「2乗したらその数になる正の数」を表す
- $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ など、整数で表せない数を表すのに使う
- $\sqrt{4} = 2, \sqrt{9} = 3$ のように、完全平方数の根号は整数になる
- $(\sqrt{a})^2 = a$ という性質がある
- 大小比較は、両方を2乗して比べる
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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