【平方根】平方根を含む式の展開（乗法公式の利用）【alg-sqrt-011】【応用】

そもそも乗法公式とは？

まず、乗法公式を確認しておこう。中学で学ぶ主な乗法公式は次の4つである。

乗法公式じょうほうこうしきとは、式の展開を効率よく行うための「型」である。毎回分配法則で計算するより、公式に当てはめる方が圧倒的に速い。

これらの公式は、$a$ や $b$ にどんな数を入れても成り立つ。つまり、$\sqrt{2}$ や $\sqrt{5}$ のような平方根を入れても、まったく同じように使える。

ここが最大のポイントである。

$\sqrt{3}$ を「一つの文字」として扱えばよい。

平方根を含む展開を図で理解する

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ という公式は、面積図で考えると視覚的に理解できる。

下のアニメーションでは、$(\sqrt{5} + 2)^2$ を面積図で表している。「$\sqrt{5}$」と「$2$」の長さを持つ正方形を考え、その面積を4つの部分に分けて計算する様子を確認しよう。

面積図から、次のことがわかる。

面積図の考え方：$(a + b)^2$ は「一辺が $a + b$ の正方形の面積」と同じ。これを4つの長方形に分けると、$a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$ の4つになる。

和の平方公式 $(a + b)^2$ の使い方

公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を平方根に適用する手順を確認しよう。

例題1：$(\sqrt{3} + 5)^2$ を展開せよ

$a = \sqrt{3}$、$b = 5$ として公式に当てはめる。

$(\sqrt{3})^2 = 3$ である。「$\sqrt{ }$ を2乗すると中身だけが残る」と覚えておこう。

例題2：$(2\sqrt{2} + 3)^2$ を展開せよ

$a = 2\sqrt{2}$、$b = 3$ として公式に当てはめる。

$(2\sqrt{2})^2$ の計算に注意。$2^2 \times (\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$ である。係数けいすうも2乗することを忘れない。

差の平方公式 $(a – b)^2$ の使い方

公式 $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ も同様に使える。違いは「$-2ab$」の部分だけである。

例題3：$(\sqrt{7} – 2)^2$ を展開せよ

$a = \sqrt{7}$、$b = 2$ として公式に当てはめる。

例題4：$(3 – \sqrt{5})^2$ を展開せよ

平方根が後ろにある場合も同じ。$a = 3$、$b = \sqrt{5}$ として公式に当てはめる。

和と差の積公式 $(a + b)(a – b)$ の使い方

公式 $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$ は、平方根の計算で特に威力を発揮する。

なぜなら、結果から平方根が消えることが多いからである。

例題5：$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} – 2)$ を計算せよ

$a = \sqrt{5}$、$b = 2$ として公式に当てはめる。

和と差の積公式を使うと、$(\sqrt{n} + m)(\sqrt{n} – m) = n – m^2$ のように平方根が消える。この性質は分母ぶんぼの有理化ゆうりかで重要になる。

例題6：$(3\sqrt{2} + 4)(3\sqrt{2} – 4)$ を計算せよ

$a = 3\sqrt{2}$、$b = 4$ として公式に当てはめる。

$(x + a)(x + b)$ 型の公式の使い方

公式 $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ も平方根に適用できる。

例題7：$(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} + 5)$ を計算せよ

$x = \sqrt{3}$、$a = 2$、$b = 5$ として公式に当てはめる。

例題8：$(\sqrt{6} – 1)(\sqrt{6} + 4)$ を計算せよ

$x = \sqrt{6}$、$a = -1$、$b = 4$ として公式に当てはめる。

よくある間違いと対策

公式選択チャート

どの公式を使えばよいか迷ったときは、次のチャートで判断しよう。