【二次方程式】置き換えを使った解き方【alg-quad-eq-012】【応用】

置き換えとは何か

置き換えおきかえとは、式の中にある共通部分を別の文字で表すことである。

共通部分きょうつうぶぶんとは、式の中で何度も登場する同じ形のかたまりのこと。例えば $(x+3)$ が2回出てくるなら、それが共通部分である。

例えば、次のような方程式を考えてみよう。

このまま展開すると計算が面倒だが、$(x+3)$ という部分が2回登場していることに気づくだろうか。この共通部分を $t$ と置き換えると、式は次のように変わる。

これなら、見慣れた二次方程式として解くことができる。

置き換えのしくみを図で理解する

置き換えによって、複雑な式がどのように変化するかを視覚的に確認しよう。

このように、共通部分を見つけて $t$ などの新しい文字に置き換えることで、複雑に見える式をシンプルな形に変換できる。

置き換えを使った解き方の手順

置き換えを使って二次方程式を解くには、次の4つの手順を順番に行う。

例題1：基本的な置き換え

次の方程式を解いてみよう。

手順1：共通部分を見つける

式をよく見ると、$(x+3)$ が2回登場している。これが共通部分である。

手順2：置き換えを行う

$x+3 = t$ とおくと、式は次のように変わる。

手順3：$t$ についての方程式を解く

この二次方程式を因数分解で解く。

かけて $6$、足して $-5$ になる2数は $-2$ と $-3$ である。よって $(t-2)(t-3)$ と因数分解できる。

手順4：$x$ の値を求める

$t = x + 3$ だったので、それぞれの $t$ の値を代入して $x$ を求める。

$t = 2$ のとき：

$t = 3$ のとき：

よって、答えは $x = -1, 0$ である。

例題2：係数がついている場合

次の方程式を解いてみよう。

手順1・2：置き換え

$(2x-1)$ が共通部分である。$2x – 1 = t$ とおくと、

手順3：$t$ についての方程式を解く

かけて $-10$、足して $3$ になる2数は $5$ と $-2$ である。

手順4：$x$ の値を求める

$t = -5$ のとき：

$t = 2$ のとき：

よって、答えは $x = -2, \dfrac{3}{2}$ である。

置き換えの手順をアニメーションで確認

例題1の解き方を、ステップごとに確認してみよう。

よくある間違いと対策

置き換えを使うときに、つまずきやすいポイントを確認しておこう。

間違い1：置き換えを戻し忘れる

誤り：$t = 2, 3$ で終わってしまう。

対策：$t$ の値を求めたら、必ず置き換えの式（$t = x + 3$ など）に戻す。最終的な答えは $x$ の値である。

間違い2：置き換えの式を間違える

誤り：$2x – 1 = t$ とおいたのに、戻すとき $x – 1 = t$ として計算してしまう。

対策：置き換えの式は問題の余白にメモしておき、戻すときに必ず確認する。

間違い3：共通部分を見落とす

誤り：そのまま展開してしまい、計算が複雑になる。

対策：式を見たとき、同じ形のかたまりが2回以上登場していないか、最初に確認する習慣をつける。

この単元のよくある質問

練習問題