二次方程式の解き方は3つある。因数分解、平方根、解の公式。全部覚えたのに「どれを使えばいいかわからない」と悩んでいないだろうか。
テストで時間が足りなくなる原因の多くは、この「解法選び」に迷う時間である。問題を見た瞬間に「これは因数分解だ」「これは公式だ」と判断できれば、計算時間は半分以下になる。
実は、どの解き方を選ぶかには明確な基準がある。この記事では、問題を見た瞬間に最適な解法を選べるようになるまで、判断の手順を徹底的に解説する。
二次方程式の3つの解き方を整理する
まず、二次方程式を解く3つの方法を確認しよう。それぞれの特徴を理解することが、正しい選択の第一歩である。
① 因数分解を使う方法
因数分解とは、式を「かけ算の形」に変形することである。例えば $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$ のように書き換える。
因数分解できる形なら、最も速く解ける。
これを因数分解すると
よって $x = -2, -3$
② 平方根を使う方法
平方根を使う方法は、「（何か）の2乗 = 数」という形のときに使える。両辺の平方根をとって解く。
両辺の平方根をとると
よって $x = 7, -1$
③ 解の公式を使う方法
解の公式は、どんな二次方程式でも必ず解ける万能の方法である。ただし計算量が多い。
$ax^2 + bx + c = 0$ の形にして、$a, b, c$ を代入すれば必ず解が求まる。
解法選択のフローチャート
問題を見たときに、どの順番で判断すればよいかを図で示す。
このフローチャートを頭に入れておけば、問題を見た瞬間に判断できる。
判断のポイントを詳しく解説する
判断①：$x$ の1次の項がないか？
問題を見て最初に確認するのは、式の中に $bx$（$x$ の1乗の項）があるかどうかである。
$x$ の1次の項がない例：
- $x^2 = 9$ → 平方根で解く
- $x^2 – 25 = 0$ → 平方根で解く（$x^2 = 25$ に変形）
- $(x-3)^2 = 16$ → すでに完成形、平方根で解く
- $2x^2 – 18 = 0$ → 平方根で解く（$x^2 = 9$ に変形）
$x$ の1次の項がなければ、式を「（何か）² = 数」の形に変形して、両辺の平方根をとる。これが最速である。
判断②：因数分解できるか？
$x$ の1次の項がある場合、次に「因数分解できるか」を判断する。
因数分解しやすい特徴：
- $x^2$ の係数が1
- 定数項が小さい（絶対値が20以下）
- 「足して $b$、かけて $c$」となる整数の組がすぐ見つかる
$x^2 + 7x + 12 = 0$
足して7、かけて12 → 3と4
$(x+3)(x+4) = 0$ で因数分解できる ✓
$x^2 – 5x – 6 = 0$
足して−5、かけて−6 → −6と1
$(x-6)(x+1) = 0$ で因数分解できる ✓
$x^2 + 3x + 5 = 0$
足して3、かけて5 → 該当する整数なし
因数分解できない → 解の公式へ
判断③：平方完成しやすいか？
因数分解できない場合、「$(x + p)^2 = q$ の形に変形しやすいか」を判断する。
平方完成しやすい特徴：
- $x^2$ の係数が1
- $x$ の係数が偶数（半分にしたとき整数になる）
$x^2 + 6x – 7 = 0$
$x$ の係数6は偶数 → 平方完成しやすい
$x^2 + 6x = 7$
$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$
$(x + 3)^2 = 16$
$x + 3 = \pm 4$
$x = 1, -7$
因数分解でも解ける問題だが、平方完成でも効率よく解ける例である。
迷ったら → 解の公式
判断に3秒以上かかったら、迷わず解の公式を使おう。解の公式はどんな二次方程式でも必ず解ける。
確実性を優先するなら、解の公式が最も安全な選択である。
パターン別の解き方を実演する
4つのボタンを押して、それぞれのパターンでの判断基準と解き方を確認しよう。
よくある間違いと対策
間違い①：因数分解に固執しすぎる
「因数分解が一番速い」と聞いて、どんな問題でも因数分解しようとする人がいる。
問題：$x^2 + 3x – 7 = 0$
足して3、かけて−7となる整数の組は存在しない。この問題で因数分解を試み続けると、時間を大幅に無駄にする。
対策：「足して $b$、かけて $c$」となる整数が10秒で見つからなければ、解の公式に切り替える。
間違い②：$x$ の1次項を見落とす
問題：$x^2 – 9 = 0$
これを $(x-3)(x+3) = 0$ と因数分解する人もいるが、$x^2 = 9$ として $x = \pm 3$ と求める方が速い。
対策：問題を見たらまず「$x$ の1乗の項があるか」を確認する。なければ平方根が最速。
間違い③：平方完成を忘れる
問題：$(x + 5)^2 = 20$
展開して $x^2 + 10x + 25 = 20$、さらに整理して解の公式…と遠回りする人がいる。
すでに「（何か）² = 数」の形になっているので、そのまま平方根をとればよい。
対策：$( )^2 = $ の形を見つけたら、即座に平方根で解く。
判断力を鍛えるドリル
以下の問題について、「どの解法を使うか」を判断せよ。解く必要はない。
この単元のよくある質問
Q. 因数分解と解の公式、どちらを優先すべきですか？
A. 因数分解できるならそちらが速い。ただし10秒以内に因数分解の形が見つからなければ、解の公式に切り替えるのが効率的である。確実性を優先するなら、最初から解の公式を使っても問題ない。
Q. テストではどの解法を使っても正解になりますか？
A. はい。どの方法で解いても、答えが合っていれば正解である。ただし、答えが無理数（ルートを含む形）になる場合は、解の公式を使わないと正確な答えが出せない。
Q. 平方完成と解の公式の使い分けがわかりません。
A. $x$ の係数が偶数なら平方完成が楽。奇数なら解の公式の方がミスが少ない。例えば $x^2 + 6x + 5 = 0$ は平方完成しやすいが、$x^2 + 5x + 3 = 0$ は解の公式の方が確実である。
練習問題
$x^2 – 81 = 0$
$x^2 – 3x – 10 = 0$
$x^2 + 4x – 3 = 0$
まとめ
この記事では、二次方程式の解法の選び方を学んだ。ポイントは以下の通りである。
- $x$ の1次の項がない → 平方根で解く
- 「足して $b$、かけて $c$」が見つかる → 因数分解で解く
- $x$ の係数が偶数 → 平方完成も有効
- 迷ったら → 解の公式が確実
判断に3秒以上かかったら、解の公式を使う。この基準を守れば、テストで時間を無駄にすることはなくなる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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