「$x^2 + 5x + 6$ を因数分解せよ」と言われて、何から手をつければいいかわからない——そんな経験はないだろうか。
公式は暗記したはずなのに、目の前の式を見るとどの公式を使えばいいのかわからない。足す数と掛ける数を探そうとしても、なかなか見つからない。
実は、この「$x^2 + (a+b)x + ab$」型の因数分解で迷う人の多くは、「足して○○、掛けて△△になる2数を探す」という手順を、体に染み込ませていないだけである。この記事では、その手順を図解とアニメーションで徹底的に身につけていく。
そもそも「$x^2+(a+b)x+ab$」の因数分解とは？
まず、この公式が何を意味しているのかを確認しよう。
因数分解とは、式を「掛け算の形」に分解することである。例えば $12 = 3 \times 4$ のように、数を掛け算で表すのと同じ発想だ。
この公式を言葉にすると、次のようになる。
「$x^2$ の係数が1の二次式は、足して $x$ の係数、掛けて定数項になる2数を見つければ因数分解できる」
定数項とは、$x$ を含まない数だけの項のことである。$x^2 + 5x + 6$ なら、$6$ が定数項である。
具体例で確かめてみよう。
この式を因数分解するには、「足して $5$、掛けて $6$」になる2数を探す。
| 2数の組 | 足した結果 | 掛けた結果 |
|---|---|---|
| $1$ と $6$ | $7$ | $6$ |
| $2$ と $3$ | $5$ ✓ | $6$ ✓ |
$2$ と $3$ が条件を満たす。よって、
公式の仕組みを図で理解する
なぜこの公式が成り立つのか、展開の逆をたどることで理解しよう。
展開とは、$(x+2)(x+3)$ のようなカッコの掛け算を計算して、$x^2 + 5x + 6$ のような形にすることである。因数分解は展開の逆の操作だ。
$(x+2)(x+3)$ を展開すると、
ここで注目してほしいのは、$x$ の係数 $5$ は $2 + 3$ から、定数項 $6$ は $2 \times 3$ から来ているということだ。
2数を見つける手順
因数分解の成功は「足して○○、掛けて△△」の2数を素早く見つけられるかにかかっている。以下の手順で探そう。
定数項（掛けて出る数）の約数をペアで書き出す
例：定数項が $6$ なら → $(1, 6)$、$(2, 3)$、$(-1, -6)$、$(-2, -3)$
各ペアの和を計算する
$1 + 6 = 7$、$2 + 3 = 5$、$(-1) + (-6) = -7$、$(-2) + (-3) = -5$
$x$ の係数と一致するペアを選ぶ
$x$ の係数が $5$ なら → $(2, 3)$ が答え
定数項が正で $x$ の係数も正なら、2数は両方とも正。定数項が正で $x$ の係数が負なら、2数は両方とも負。定数項が負なら、2数は異符号（プラスとマイナス）である。
2数の探し方を視覚化する
下のボタンで異なる問題を切り替えて、2数の探し方のパターンを確認しよう。
符号のパターンを覚えよう
$x^2 + bx + c$ の符号から、2数の符号が予測できる。これを知っておくと、探す範囲が半分以下になる。
例題で確認しよう
例題1：$x^2 + 7x + 12$ を因数分解せよ
条件を確認する
足して $7$、掛けて $12$ になる2数を探す
定数項 $12$ が正、係数 $7$ も正 → 2数は両方とも正
12の正の約数ペアを書き出す
$(1, 12)$ → 和 $13$
$(2, 6)$ → 和 $8$
$(3, 4)$ → 和 $7$ ✓
答えを書く
例題2：$x^2 – 8x + 15$ を因数分解せよ
条件を確認する
足して $-8$、掛けて $15$ になる2数を探す
定数項 $15$ が正、係数 $-8$ が負 → 2数は両方とも負
15の負の約数ペアを書き出す
$(-1, -15)$ → 和 $-16$
$(-3, -5)$ → 和 $-8$ ✓
答えを書く
例題3：$x^2 + 2x – 15$ を因数分解せよ
条件を確認する
足して $2$、掛けて $-15$ になる2数を探す
定数項 $-15$ が負 → 2数は異符号（プラスとマイナス）
係数 $2$ が正 → 絶対値の大きい方がプラス
15の異符号ペアを書き出す
$(1, -15)$ → 和 $-14$
$(-1, 15)$ → 和 $14$
$(3, -5)$ → 和 $-2$
$(-3, 5)$ → 和 $2$ ✓
答えを書く
よくある間違いと対策
「足す」と「掛ける」を逆にしてしまう
対策：$x^2 + bx + c$ の形で、$b$（$x$ の係数）が「足す」、$c$（定数項）が「掛ける」と覚える。「$b$ は ぼうしで 足す（プラス）」と語呂合わせしてもよい。
符号を間違える
対策：定数項が正なら同符号、負なら異符号。これを先に判断してから探し始める。
検算をしない
対策：因数分解した後、展開して元に戻るか必ず確認する。$(x+3)(x+4)$ なら $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$ と確かめる。
この単元のよくある質問
Q. 2数がなかなか見つからないときはどうすればいい？
A. 定数項の約数を小さい順にすべて書き出し、表にして和を計算していくのが確実である。慣れるまでは表を作ることを省略しないこと。また、符号のパターンを先に判断すれば、探す範囲が半分になる。
Q. この公式は $x^2$ の係数が1以外のときも使える？
A. この公式は $x^2$ の係数が1のときだけ使える。係数が1以外（例：$2x^2 + 5x + 3$）の場合は、「たすきがけ」という別の方法を使う。まずはこの公式を完璧にしてから、次のステップに進もう。
Q. 因数分解できない式もある？
A. ある。例えば $x^2 + 3x + 1$ は、足して3、掛けて1になる整数の組が存在しない。このような式は「整数の範囲では因数分解できない」という。ただし、中学の問題では因数分解できる式が出題されるので、見つからないときは計算ミスを疑おう。
練習問題
(1) $x^2 + 6x + 8$
(2) $x^2 – 7x + 10$
(3) $x^2 + 3x – 10$
(1) $x^2 + 9x + 20$
(2) $x^2 – 11x + 24$
(3) $x^2 – 4x – 21$
(1) $x^2 + 10x + 21$
(2) $x^2 – 6x – 16$
まとめ
この記事では、$x^2 + (a+b)x + ab$ 型の因数分解について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 「足して $x$ の係数、掛けて定数項」になる2数を探す
- 定数項が正なら同符号、負なら異符号
- 約数ペアを表に書き出して、和を計算する
- 答えを出したら、展開して検算する
2数を見つける作業は、最初は時間がかかるものである。しかし、繰り返し練習することで、見た瞬間にパッと浮かぶようになる。焦らず、1問ずつ丁寧に解いていこう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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