【文字式】因数分解の公式② x²-a²の因数分解【中3数学】【必須】

そもそも「$x^2 – a^2$」とは？

まず、$x^2 – a^2$ という式がどんな形をしているか確認しよう。

$x^2$ は「$x$ の2乗」、$a^2$ は「$a$ の2乗」である。つまり $x^2 – a^2$ は「何かの2乗 − 何かの2乗」という形をしている。この形を平方の差と呼ぶ。

具体例を見てみよう。

• $x^2 – 9 = x^2 – 3^2$（$x$ の2乗 − $3$ の2乗）
• $x^2 – 25 = x^2 – 5^2$（$x$ の2乗 − $5$ の2乗）
• $4x^2 – 1 = (2x)^2 – 1^2$（$2x$ の2乗 − $1$ の2乗）

このように、2つの項がそれぞれ「何かの2乗」になっていて、それらを引き算している式が対象である。

公式：$x^2 – a^2 = (x + a)(x – a)$

平方の差は、次の公式で因数分解できる。

この公式の意味は「2乗の引き算は、足し算と引き算の積になる」ということである。$(x + a)$ と $(x – a)$ は、$a$ を足すか引くかの違いだけで、とても覚えやすい形をしている。

なぜこの公式が成り立つのか、展開して確かめてみよう。

$-ax$ と $+ax$ が打ち消し合って $0$ になるのがポイントである。だから結果は $x^2 – a^2$ だけが残る。

図で理解する「平方の差」

この公式を面積図で視覚的に理解しよう。$x^2 – a^2$ という式は「大きな正方形の面積から小さな正方形の面積を引いたもの」と考えることができる。

このように、$x^2 – a^2$ は面積的にも $(x + a)(x – a)$ と等しいことがわかる。大きな正方形から小さな正方形を引いた残りは、縦 $(x + a)$、横 $(x – a)$ の長方形として並べ替えられるのである。

因数分解の手順

$x^2 – a^2$ の形を見つけたら、次の手順で因数分解しよう。

例題1：$x^2 – 9$ を因数分解せよ

$9 = 3^2$ なので、$a = 3$ である。

例題2：$x^2 – 49$ を因数分解せよ

$49 = 7^2$ なので、$a = 7$ である。

例題3：$4x^2 – 25$ を因数分解せよ

$x^2$ の係数けいすうが $1$ でない場合も、同じ考え方でできる。

$4x^2 = (2x)^2$、$25 = 5^2$ である。つまり「$2x$ の2乗 − $5$ の2乗」という形になっている。

よくある間違いと対策

公式を使いこなすアニメーション

数字を変えて、公式がどう適用されるか見てみよう。

よくある質問と答え（FAQ）

練習問題