MENU
図やアニメーションが崩れている場合はご連絡ください。
  1. ホーム
  2. 数学
  3. 解析
  4. 二次関数(y=ax2)
  5. 【二次関数】放物線と平行四辺形・等積な点【中3数学】【応用】

【二次関数】放物線と平行四辺形・等積な点【中3数学】【応用】

二次関数(y=ax2)

「放物線上に平行四辺形を作れ」「面積が等しくなる点を求めよ」——こうした問題が出てきたとき、何から手をつけていいかわからない、という経験はないだろうか。

座標と図形が組み合わさると、途端に難しく感じてしまうのは当然である。

しかし実は、「ベクトル的な考え方」と「底辺×高さ」という2つの道具を使いこなせれば、どんな問題も同じ手順で解ける。

🔰 初めての方へ：この記事では、難しい公式は使わない。「平行四辺形の条件」と「面積の計算」の2つだけで解けることを、順を追って説明する。

対象：中学3年 所要時間：約15分
合わせて復習：
・【二次関数】放物線と三角形の面積（等積変形・y軸切り）
目次

この記事で使う用語

先に、この記事で登場する専門用語をまとめておく。わからない言葉が出てきたら、ここに戻って確認しよう。

放物線ほうぶつせん
$y = ax^2$ や $y = ax^2 + bx + c$ のグラフの形。U字型（または逆U字型）の曲線である。
平行四辺形へいこうしへんけい
向かい合う2組の辺がそれぞれ平行な四角形のこと。
頂点ちょうてん
図形の角にあたる点のこと。四角形なら4つある。
ベクトル
「向き」と「大きさ」を持つ量。ここでは「点Aから点Bへの移動量」として使う。AからBへ行くには「x方向に+3、y方向に+2」のように表す。
等積とうせき
「面積が等しい」という意味。
座標ざひょう
平面上の点の位置を $(x, y)$ の形で表したもの。

道具（考え方）を手に入れる

この単元では「公式を覚える」というより、「考え方を身につける」ことが大切である。

道具1：平行四辺形になる条件

🎯 この考え方でできること：
4つの点が平行四辺形を作るかどうかを判定できる。また、3点が決まったとき、残り1点の座標を求められる。

平行四辺形ABCDでは、向かい合う辺が平行で長さも等しい。これを座標で表すと：

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{（ABとDCが同じ移動量）}$$

もう少し具体的に言うと：

  • AからBへ行くときの「x方向の移動量」と「y方向の移動量」
  • DからCへ行くときの「x方向の移動量」と「y方向の移動量」

この2つが完全に一致すれば、ABとDCは平行で長さも等しい（＝平行四辺形の条件を満たす）。

💡 ポイント
「ベクトルが等しい」とは「同じ方向に、同じ距離だけ移動する」という意味である。難しく考えず、「AからBへの移動」と「DからCへの移動」が同じかどうかをチェックすればよい。

道具2：三角形の面積公式（座標バージョン）

🎯 この考え方でできること：
座標がわかっている三角形の面積を求められる。「等積な点」の問題で必須。

底辺がx軸やy軸に平行な場合、面積は簡単に計算できる：

$$\text{面積} = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$$

座標を使うと：

  • 底辺：2点のx座標の差（またはy座標の差）
  • 高さ：底辺から対頂点までの距離

道具3：「等積な点」の見つけ方

🎯 この考え方でできること：
「三角形ABCと面積が等しい三角形ABPを作る点Pはどこか？」という問題が解ける。

重要な事実：底辺が共通なら、高さが等しい点はすべて「底辺に平行な直線上」にある。

$$\text{底辺ABが同じ} \Rightarrow \text{高さが同じ点は、ABに平行な直線上}$$

使い方マニュアル

パターン1：平行四辺形の4つ目の頂点を求める

1

3つの頂点の座標を確認し、どの点を結ぶかを決める。

（なぜ？：平行四辺形ABCDでは、AとC、BとDが対角線で結ばれる。どの順番で結ぶかによって、4つ目の点の位置が変わる）

2

「向かい合う辺のベクトルが等しい」という条件を式にする。

（なぜ？：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ から、未知の点Dの座標を求められる）

3

x成分、y成分それぞれの方程式を解いて、座標を求める。

（なぜ？：ベクトルの等式は「x成分どうし」「y成分どうし」が等しいので、2つの方程式が得られる）

パターン2：等積な点を求める

1

基準となる三角形の面積を計算する。

（なぜ？：「これと同じ面積になる」という条件式を作るため）

2

共通の底辺を決め、求める点が満たす条件を考える。

（なぜ？：底辺が同じなら、面積が等しい＝高さが等しい、と言い換えられる）

3

「高さが等しい」条件と「放物線上」の条件を連立して解く。

（なぜ？：放物線 $y = ax^2$ 上という制約があるので、そこから点を絞り込める）

図で理解する

📊 この図の見方

これから表示する図は、放物線上に平行四辺形を作る様子を示している。

  • 青い曲線：放物線 $y = x^2$
  • 赤い点A, B, C：与えられた3つの頂点
  • 緑の点D：求める4つ目の頂点
  • 矢印：ベクトル（移動の向きと大きさ）
💡 図から読み取れること
  • 3点A, B, Cが決まると、「ABとDCが平行で等しい」という条件から、Dの位置が1つに決まる
  • ベクトルAB = (2, -1) とベクトルDC = (2, -1) が一致している
  • 点Dは放物線上にはない（放物線上に4つ目の頂点を置く問題もある）

実際に解いてみよう

ステップ1：まずは簡単な問題で練習

🔰 易 ウォームアップ
3点 A(0, 0)、B(3, 0)、C(4, 2) がある。四角形ABCDが平行四辺形になるとき、点Dの座標を求めよ。
（💡 まずは放物線を使わず、平行四辺形の条件だけで解く練習）
1

平行四辺形ABCDでは、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ である。

（💡 向かい合う辺ABとDCが平行で長さも等しい）

2

$\overrightarrow{AB}$ を計算する。

$$\overrightarrow{AB} = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0)$$

（💡 AからBへの移動は「x方向に+3、y方向に+0」）

3

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ より、Dの座標を求める。

Dの座標を $(p, q)$ とすると、$\overrightarrow{DC} = (4 - p, 2 - q) = (3, 0)$

$$4 - p = 3 \quad \Rightarrow \quad p = 1$$ $$2 - q = 0 \quad \Rightarrow \quad q = 2$$

答え：$D(1, 2)$

（💡 検算：$\overrightarrow{DC} = (4-1, 2-2) = (3, 0) = \overrightarrow{AB}$ ✓）

ステップ2：放物線上の平行四辺形

📝 標準 例題
放物線 $y = x^2$ 上に3点 A(-1, 1)、B(0, 0)、C(2, 4) がある。
四角形ABCDが平行四辺形になるとき、点Dの座標を求めよ。
1

$\overrightarrow{AB}$ を計算する。

$$\overrightarrow{AB} = (0 - (-1), 0 - 1) = (1, -1)$$
2

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ より、Dの座標を求める。

Dの座標を $(p, q)$ とすると、$\overrightarrow{DC} = (2 - p, 4 - q) = (1, -1)$

$$2 - p = 1 \quad \Rightarrow \quad p = 1$$ $$4 - q = -1 \quad \Rightarrow \quad q = 5$$
3

Dが放物線上にあるか確認する。

$y = x^2$ に $x = 1$ を代入すると $y = 1$。しかし $D(1, 5)$ なので $y = 5 \neq 1$。

したがって、点Dは放物線上にない。

答え：$D(1, 5)$（放物線上にはない）

💡 ポイント
放物線上の3点から平行四辺形を作っても、4つ目の頂点が放物線上にあるとは限らない。問題文で「放物線上の点D」と指定されていなければ、放物線の外にあってもよい。

ステップ3：等積な点を求める

🔥 やや難 例題
放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ の交点をA、Bとする。
放物線上の点Pで、$\triangle OAB$（Oは原点）と $\triangle PAB$ の面積が等しくなる点Pの座標を求めよ。
ただし、Pは線分AB上にないものとする。
📊 この問題の考え方
  • $\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は底辺ABが共通
  • 面積が等しい＝高さが等しい
  • 高さが等しい点は、ABに平行な直線上にある
  • その直線と放物線の交点を求めればよい
1

交点A、Bの座標を求める。

$x^2 = 2x + 3$ を解く。

\begin{aligned} x^2 - 2x - 3 &= 0 \\ (x - 3)(x + 1) &= 0 \\ x &= 3, -1 \end{aligned}

$x = 3$ のとき $y = 9$、$x = -1$ のとき $y = 1$

よって $A(-1, 1)$、$B(3, 9)$

2

原点OからABまでの距離（高さ $h_1$）を求める。

（💡 直線 $y = 2x + 3$ を $2x - y + 3 = 0$ の形にして、点と直線の距離の公式を使う）

$$h_1 = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$$
3

Pは「ABに平行で、ABからの距離が $h_1$ の直線」上にある。

ABに平行な直線は $y = 2x + k$ の形。原点からの距離が $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ となる $k$ を求める。

原点は直線 $2x - y + 3 = 0$ から $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ の距離にあるので、Pは原点のABに関して反対側にある。

反対側は $y = 2x + k$ で $k < 0$。距離が $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ となる条件：

$$\frac{|k - 3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \times 2 = \frac{6}{\sqrt{5}}$$

（💡 Oの反対側なので、OからABの距離の2倍の位置にある直線を考える）

$|k - 3| = 6$ より $k = 9$ または $k = -3$

$k = 3$ はABそのもの。反対側は $k = -3$。

4

直線 $y = 2x - 3$ と放物線 $y = x^2$ の交点を求める。

\begin{aligned} x^2 &= 2x - 3 \\ x^2 - 2x + 3 &= 0 \end{aligned}

判別式 $D = 4 - 12 = -8 < 0$ なので交点なし。

（💡 この場合、別のアプローチが必要。底辺をAB以外にとるか、面積を直接計算する）

⚠️ 注意
「ABに平行な直線」と放物線が交わらない場合がある。その場合は、別の方法（面積を直接式で表す）で解く必要がある。次の例題でその方法を見てみよう。

ステップ4：面積を直接計算する方法

📝 標準 例題（別解法）
放物線 $y = x^2$ 上の2点 A(-2, 4)、B(1, 1) と原点Oがある。
放物線上の点P（Pは第1象限）で、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ の面積が等しくなる点Pの座標を求めよ。
1

$\triangle OAB$ の面積を求める。

（💡 座標がわかっている三角形の面積は、公式 $\dfrac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ で求められる）

O(0, 0)、A(-2, 4)、B(1, 1) を代入：

\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}|0 \cdot (4 - 1) + (-2) \cdot (1 - 0) + 1 \cdot (0 - 4)| \\ &= \frac{1}{2}|0 - 2 - 4| \\ &= \frac{1}{2} \times 6 = 3 \end{aligned}
2

放物線上の点P $(t, t^2)$ に対して、$\triangle PAB$ の面積を $t$ の式で表す。

P$(t, t^2)$、A(-2, 4)、B(1, 1) を代入：

\begin{aligned} S_P &= \frac{1}{2}|t(4 - 1) + (-2)(1 - t^2) + 1(t^2 - 4)| \\ &= \frac{1}{2}|3t - 2 + 2t^2 + t^2 - 4| \\ &= \frac{1}{2}|3t^2 + 3t - 6| \\ &= \frac{3}{2}|t^2 + t - 2| \end{aligned}
3

$S_P = 3$ となる $t$ を求める。

$$\frac{3}{2}|t^2 + t - 2| = 3$$ $$|t^2 + t - 2| = 2$$

場合分け：

① $t^2 + t - 2 = 2$ のとき

\begin{aligned} t^2 + t - 4 &= 0 \\ t &= \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \end{aligned}

② $t^2 + t - 2 = -2$ のとき

\begin{aligned} t^2 + t &= 0 \\ t(t + 1) &= 0 \\ t &= 0, -1 \end{aligned}

$t = 0$ はO、$t = -1$ はABの延長線上なので除外。

4

第1象限の点を選ぶ。

$t = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} > 0$ なので、この値を採用。

$t^2 = \left(\dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}\right)^2 = \dfrac{1 - 2\sqrt{17} + 17}{4} = \dfrac{18 - 2\sqrt{17}}{4} = \dfrac{9 - \sqrt{17}}{2}$

答え：$P\left(\dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \dfrac{9 - \sqrt{17}}{2}\right)$

図で理解する（等積な点）

📊 この図の見方

底辺ABが共通のとき、高さが等しい点は「ABに平行な直線上」にある様子を示す。

  • 赤い線：直線AB
  • 緑の点線：ABに平行な直線（この上の点はすべて同じ高さ）
  • 青い曲線：放物線
  • 緑の点P：等積な点の候補
💡 図から読み取れること
  • 直線ABに平行な直線（緑の点線）上の点はすべて、ABからの距離（高さ）が等しい
  • 底辺ABが共通なので、高さが同じ＝面積が同じ
  • 放物線との交点Pが「等積な点」の候補になる

よくある間違いと対策

⚠️

平行四辺形の頂点の順番を間違える

ABCDの順番によって、どの辺が向かい合うかが変わる。

❌ よくある失敗：
ABCDの順でなく、ACBDの順で考えてしまい、ベクトルの対応を間違える。
✅ 対策：問題で与えられた頂点の順番を図に書いて確認する。
⚠️

ベクトルの向きを逆にする

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BA}$ は符号が逆になる。

❌ よくある失敗：
$\overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y)$ を $(A_x - B_x, A_y - B_y)$ と計算してしまう。
✅ 対策：「AからBへ」＝「Bの座標 − Aの座標」と覚える。
⚠️

「放物線上」という条件を忘れる

❌ よくある失敗：
等積な点を求めるとき、放物線上という条件を無視して直線との交点だけ答える。
✅ 対策：最後に $y = ax^2$ を満たすか必ず確認する。

練習問題

🔰 易 問1. 3点 A(1, 0)、B(4, 0)、C(5, 3) がある。四角形ABCDが平行四辺形になるとき、点Dの座標を求めよ。
📝 標準 問2. 放物線 $y = x^2$ 上に2点 A(-1, 1)、B(2, 4) がある。x軸上の点Pで、$\triangle OAB$（Oは原点）と $\triangle PAB$ の面積が等しくなる点Pの座標を求めよ。
🔥 やや難 問3. 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点をA、Bとする。放物線上の点P（P≠A, B）で、$\triangle OAB$（Oは原点）の面積を2等分する点Pのx座標を求めよ。

この単元のよくある質問

Q. 平行四辺形の4つ目の頂点が複数ある場合はありますか？

A. ある。3点A, B, Cが与えられたとき、「平行四辺形ABCD」「平行四辺形ABDC」「平行四辺形ADBC」の3通りの並び方が考えられ、それぞれDの位置が異なる。問題文で「四角形ABCD」と頂点の順番が指定されている場合は1通りに決まる。

Q. 「面積を2等分する」と「等積な点」は同じことですか？

A. 違う。「等積な点」は、ある三角形と同じ面積の別の三角形を作る点。「面積を2等分する」は、1つの図形を半分ずつに分ける線や点を求める問題。アプローチが異なるので注意。

Q. ベクトルを使わずに平行四辺形の問題を解く方法はありますか？

A. ある。「対角線が互いに他を2等分する」という性質を使う方法。平行四辺形の対角線ACとBDの交点は、それぞれの中点である。この性質から、3点がわかれば4つ目の点が求まる。

まとめ

この記事では、放物線と平行四辺形・等積な点の問題について学んだ。

✅ これができればOK

  • □ ベクトルを使って平行四辺形の4つ目の頂点を求められる
  • □ 「底辺が共通→高さが同じ→面積が同じ」の論理がわかる
  • □ 座標を使って三角形の面積を計算できる
  • □ 放物線と直線の交点を連立方程式で求められる

📝 この単元のポイント

  • 平行四辺形：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$（向かい合う辺のベクトルが等しい）
  • 等積な点：底辺が共通なら、高さが等しい点は底辺に平行な直線上
  • 面積計算：$\dfrac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

Core-dorill — 基礎を、何度でも。

Check:#平行四辺形#座標計算#図形#応用
無料プリント
準備中...
次のレベルに挑戦！
次のステップへ
Next Step
📂 二次関数(y=ax2)一覧に戻る
二次関数(y=ax2)
図形 平行四辺形 座標計算 応用

コメント

コメントする

目次