二次関数のグラフを描くとき、「aの値が何だと、どんな形になるのか？」と迷ったことはないだろうか。
公式は覚えているのに、グラフの向きや開き具合がごちゃごちゃになって、テストで失点してしまう──そんな経験を持つ人は多い。
実は、aの符号と絶対値さえ押さえれば、グラフの形は一瞬で判断できる。この記事では、「aを見ただけでグラフの形がわかる」状態を目指す。
🔰 初めての方へ：数学が苦手でも大丈夫。この記事では、難しい理論は一切省略し、「aの値を見るだけでグラフの形がわかる」シンプルなルールをお伝えする。
この記事で使う用語
先に、この記事で登場する専門用語をまとめておく。わからない言葉が出てきたら、ここに戻って確認しよう。
- 二次関数
- $y = ax^2$ や $y = ax^2 + bx + c$ のように、xの2乗を含む関数のこと。グラフは必ず放物線になる。
- 放物線
- 二次関数のグラフの形。お椀のような曲線で、左右対称である。
- 係数
- 文字の前についている数のこと。$3x^2$ なら「3」が係数である。
- 比例定数
- $y = ax^2$ のaのこと。xの2乗にかける数で、グラフの形を決める。
- 上に凸
- グラフが山の形（∩の形）になること。頂点が一番高い位置にある。
- 下に凸
- グラフが谷の形（∪の形）になること。頂点が一番低い位置にある。
- 絶対値
- 数直線上で0からの距離のこと。符号を取り除いた値。$|{-3}| = 3$、$|3| = 3$ である。
- 頂点
- 放物線の折り返し点。$y = ax^2$ の場合、頂点は原点（0, 0）にある。
道具（ルール）を手に入れる
証明は不要。「こういうルールがある」と知っていれば、あとは使い方を覚えるだけである。
$y = ax^2$ のaの値を見るだけで、グラフが「上向きか下向きか」「開き具合はどのくらいか」がわかる。
二次関数 $y = ax^2$ のグラフの形は、aの値だけで決まる。
| aの条件 | グラフの向き | 覚え方 |
|---|---|---|
| $a > 0$（正の数） | 下に凸（∪の形） | プラスは上向き（谷の形） |
| $a < 0$（負の数） | 上に凸（∩の形） | マイナスは下向き（山の形） |
| |a|の大きさ | グラフの開き具合 | 覚え方 |
|---|---|---|
| $|a|$ が大きい | グラフが狭い（急な形） | 「大きいと狭い」 |
| $|a|$ が小さい | グラフが広い（なだらかな形） | 「小さいと広い」 |
「|a|が大きいと狭い」は直感と逆に感じる人が多い。
理由：aが大きいと、同じxに対してyの値が大きくなる。つまり、縦方向に引き伸ばされるので、結果として狭く見える。
今は「大きいと狭い」と丸暗記でOK。
使い方マニュアル
$y = ax^2$ のグラフの形を判断する手順は以下の通りである。
まず、aの符号を確認する。
（なぜ？：符号でグラフの「向き」が決まるため）
- $a > 0$ → 下に凸（∪の形）
- $a < 0$ → 上に凸（∩の形）
次に、aの絶対値を確認する。
（なぜ？：絶対値でグラフの「開き具合」が決まるため）
- $|a|$ が大きい → 狭い（急な放物線）
- $|a|$ が小さい → 広い（なだらかな放物線）
最後に、向きと開き具合を組み合わせてグラフをイメージする。
（なぜ？：2つの情報を合わせると、グラフの全体像がわかる）
図で理解する
これから表示する図は、aの値を変えたときの放物線の形の変化を示している。
- 横軸：xの値
- 縦軸：yの値
- 色の違い：aの値の違いを表す
- すべての放物線：原点（0, 0）を通る
aの符号と向きの関係
- 青い放物線（$a = 0.5 > 0$）は「下に凸」（∪の形）
- 赤い放物線（$a = -0.5 < 0$）は「上に凸」（∩の形）
- どちらも原点を通り、y軸について左右対称である
|a|の大きさと開き具合の関係
- 赤（$a = 2$）：$|a|$が大きい → グラフが狭い（急な形）
- 青（$a = 1$）：標準的な開き具合
- 緑（$a = 0.25$）：$|a|$が小さい → グラフが広い（なだらかな形）
aの値とグラフの形（総合）
- $a > 0$（青・緑）は上半分、$a < 0$（赤・橙）は下半分に広がる
- $|a| = 1$（青・赤）は標準的な開き具合
- $|a| = 0.3$（緑・橙）は広く開いた形
実際に判断してみよう
ステップ1：まずは簡単な問題で練習
$y = 2x^2$ のグラフは、上に凸か、下に凸か。
（💡 aの符号だけを見ればOK！）
aの値を確認する。
$y = 2x^2$ なので、$a = 2$ である。
aの符号を確認する。
$a = 2 > 0$（正の数）である。
ルールを適用する。
$a > 0$ なので、下に凸（∪の形）である。
答え：下に凸
ステップ2：標準的な問題に挑戦
$y = -3x^2$ のグラフについて、次の問いに答えよ。
(1) 上に凸か、下に凸か。
(2) $y = x^2$ のグラフと比べて、開き具合はどうか。
aの値を確認する。
$y = -3x^2$ なので、$a = -3$ である。
(1) aの符号を確認する。
$a = -3 < 0$（負の数）なので、上に凸（∩の形）である。
(2) |a|の大きさを比較する。
$y = -3x^2$ の $|a| = |-3| = 3$
$y = x^2$ の $|a| = |1| = 1$
$3 > 1$ なので、$|a|$が大きい。
（💡 |a|が大きいと狭い）
よって、$y = x^2$ より狭い（急な形）。
答え：(1) 上に凸 (2) $y = x^2$ より狭い
ステップ3：複数のグラフを比較する
次の3つの二次関数のグラフを、開きの広い順に並べよ。
ア. $y = 2x^2$ イ. $y = -\dfrac{1}{2}x^2$ ウ. $y = -4x^2$
それぞれの|a|を求める。
ア. $|a| = |2| = 2$
イ. $|a| = \left|-\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} = 0.5$
ウ. $|a| = |-4| = 4$
|a|の大きさを比較する。
$\dfrac{1}{2} < 2 < 4$
つまり、イ＜ア＜ウ の順に|a|が大きい。
開き具合の順を決める。
（💡 |a|が小さいほど広い → |a|が小さい順＝広い順）
|a|が小さい順：イ → ア → ウ
よって、開きの広い順：イ → ア → ウ
答え：イ → ア → ウ
（💡 符号は開き具合には関係しない。絶対値だけで比較すればよい。）
よくある間違いと対策
「大きいと広い」と勘違い
|a|が大きいと、グラフは「広く」なると思いがちである。
$|a| = 3$ のとき、「3は大きい数だから広いグラフだ」
✅ 正しくは：$|a|$が大きいほど、グラフは狭くなる。
「大きいと狭い」と覚えよう。
開き具合の比較で符号を見てしまう
開き具合の比較では、符号は関係ない。絶対値だけを見る。
$a = 2$ と $a = -3$ を比較するとき、「$2 > -3$ だから…」と計算してしまう
✅ 正しくは：$|2| = 2$ と $|-3| = 3$ を比較する。$3 > 2$ なので、$a = -3$ の方が狭い。
「上に凸」「下に凸」の混同
「プラスは上向き（谷の形＝下に凸）」「マイナスは下向き（山の形＝上に凸）」
または「$a > 0$ → ニコニコ笑顔の口（∪）」「$a < 0$ → 悲しい口（∩）」と覚える。
練習問題
ア. $y = 3x^2$ イ. $y = \dfrac{1}{4}x^2$
ア. $y = x^2$ イ. $y = -2x^2$ ウ. $y = \dfrac{1}{2}x^2$ エ. $y = -\dfrac{1}{4}x^2$
この単元のよくある質問
Q. なぜ|a|が大きいと狭くなるのですか？
A. $y = ax^2$ で、aが大きいと同じxに対してyの値が大きくなる。つまり、縦方向に引き伸ばされた形になるので、結果として狭く見える。例えば、$x = 1$ のとき、$y = x^2$ なら $y = 1$ だが、$y = 3x^2$ なら $y = 3$ になる。同じx座標でもyが大きいので、グラフが急な形になる。
Q. 「上に凸」と「下に凸」の覚え方はありますか？
A. いくつかの覚え方がある。①「プラスは上向き」と覚える。$a > 0$ のとき、グラフは上に開く（∪の形）ので「下に凸」。②「ニコニコ」と「しょんぼり」で覚える。$a > 0$ は笑顔の口（∪）、$a < 0$ は悲しい口（∩）。③「a＞0は、谷。aく0は、山」という語呂合わせもある。
Q. $y = ax^2 + bx + c$ の形でも同じルールが使えますか？
A. 使える。$y = ax^2 + bx + c$ の形でも、aの符号で向き（上に凸か下に凸か）が決まり、|a|の大きさで開き具合が決まる。bやcの値はグラフの位置（頂点の位置）を変えるだけで、向きや開き具合には影響しない。
まとめ
この記事では、二次関数 $y = ax^2$ のaの値とグラフの形の関係について学んだ。ポイントは以下の通りである。
✅ これができればOK
- □ aの符号で、向きを判断できる（$a > 0$ → 下に凸、$a < 0$ → 上に凸）
- □ |a|の大きさで、開き具合を判断できる（大きいと狭い、小さいと広い）
- □ 複数のグラフの開き具合を比較できる（|a|を比較する）
📝 暗記ポイント
| 条件 | 結果 |
|---|---|
| $a > 0$ | 下に凸（∪） |
| $a < 0$ | 上に凸（∩） |
| $|a|$が大きい | 狭い（急） |
| $|a|$が小さい | 広い（なだらか） |
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