「二次方程式を解け」と言われたとき、何をすれば正解なのか、実はよくわかっていない人が多い。
公式を使って答えを出したけれど、その数字が何を意味しているのか説明できない。途中式は書けても、「解」という言葉の本当の意味がぼんやりしている。
それは、「解とは何か」という基本を飛ばしてしまっているだけである。この記事では、二次方程式の解が持つ意味を、具体例とアニメーションで徹底的に解説する。
そもそも「方程式の解」とは？
まず、最も大切なことを確認しよう。
方程式の解とは、「その式に代入すると、左辺と右辺が等しくなる値」のことである。
言い換えれば、「方程式を成り立たせる $x$ の値」が解である。
具体例で確認しよう。
例：$x^2 = 4$ の解を求める
この方程式に $x = 2$ を代入してみる。
左辺と右辺が等しくなった。よって $x = 2$ は解である。
では $x = -2$ はどうだろうか。
こちらも等しい。よって $x = -2$ も解である。
$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ である。負の数を2乗すると正の数になる。
このように、$x^2 = 4$ には解が2つある。これが二次方程式の大きな特徴である。
「解く」とは何をすることか
「方程式を解く」とは、「その方程式の解をすべて求めること」である。
一次方程式 $2x + 3 = 7$ の解は $x = 2$ の1つだけだった。
しかし、二次方程式には解が2つあることが多い。1つだけ見つけて満足すると、半分しか正解できない。
二次方程式の解は、最大で2つ、場合によっては1つ、または解なしのこともある。これは後の記事で詳しく学ぶ。
解の意味を図で理解する
二次方程式 $x^2 – 4 = 0$ を考えよう。これは $x^2 = 4$ と同じ意味である。
この方程式の解は、関数 $y = x^2 – 4$ のグラフが$x$ 軸と交わる点の $x$ 座標である。
グラフが $x$ 軸と交わる点が、$x = 2$ と $x = -2$ の2箇所ある。これが方程式の解である。
$y = 0$ となる $x$ の値が、方程式 $x^2 – 4 = 0$ の解である。グラフで見ると「$x$ 軸との交点」になる。
解かどうかを確かめる方法
ある値が解かどうかは、代入して確かめるだけでわかる。
方程式に値を代入する
左辺と右辺を計算する
等しければ解、等しくなければ解ではない
例題：$x^2 – 5x + 6 = 0$ の解は $x = 2, 3$ か確かめよ
$x = 2$ を確かめる
左辺 $=$ 右辺なので、$x = 2$ は解である。✓
$x = 3$ を確かめる
左辺 $=$ 右辺なので、$x = 3$ も解である。✓
解の確かめをアニメーションで見る
$x$ の値を変えたとき、$x^2 – 5x + 6$ の値がどう変わるか見てみよう。
$x = 2$ と $x = 3$ のときだけ、計算結果が $0$ になる。この2つが方程式の解である。
よくある間違いと対策
解を1つしか書かない
二次方程式には解が2つあることが多い。$x = 2$ だけでなく $x = -2$ も忘れずに書く。
負の数の2乗を間違える
$(-3)^2 = 9$ である。$-3^2 = -9$ と混同しないこと。かっこの有無で意味が変わる。
解の確かめをしない
計算ミスを防ぐため、求めた解を必ず代入して確かめる習慣をつけよう。
この単元のよくある質問
Q. 二次方程式の解は必ず2つあるのですか？
A. 必ずしも2つとは限りません。解が1つだけの場合（重解）や、解がない場合もあります。例えば $x^2 = 0$ の解は $x = 0$ の1つだけです。
Q. 「解く」と「解」の違いは何ですか？
A. 「解」は方程式を成り立たせる値のことで、「解く」はその解をすべて求める作業のことです。方程式を解いた結果として解が得られます。
Q. グラフを使わないと解は求められませんか？
A. グラフは解の意味を理解するための道具です。実際に解を求めるには、因数分解や解の公式などの計算方法を使います。これらは次の記事で学びます。
練習問題
まとめ
この記事では、二次方程式の「解」の意味について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 解とは、方程式に代入すると左辺と右辺が等しくなる値
- 二次方程式には解が2つあることが多い
- 解かどうかは代入して確かめることができる
- グラフで見ると、解は $x$ 軸との交点の $x$ 座標
解の意味がわかれば、次は「解をどうやって求めるか」を学んでいこう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
コメント