「$x = \sqrt{5} + 2$ のとき、$x^2 – 4x + 1$ の値を求めよ」という問題を見て、手が止まってしまった経験はないだろうか。
そのまま代入すると計算が複雑になりすぎる。かといって、どう工夫すればいいのかわからない。そんな悩みを抱えている人は多い。
実は、この手の問題には「式を変形してから代入する」という定石がある。この記事では、式の値を求める問題を効率よく解く方法を、順を追って解説する。
対象：中学3年
所要時間：約12分
目次
そもそも「式の値を求める」とは？
「式の値を求める」とは、文字を含む式に具体的な数を代入して計算することである。
代入とは、式の中の文字を特定の数で置き換えることである。例えば $x = 3$ のとき $2x + 1$ の値は、$x$ に $3$ を代入して $2 \times 3 + 1 = 7$ となる。
平方根を含む場合も基本は同じだが、そのまま代入すると計算が煩雑になることが多い。そこで「工夫」が必要になる。
直接代入の問題点
例えば、$x = \sqrt{3} + 1$ のとき $x^2 – 2x$ の値を求める問題を考えよう。
そのまま代入すると：
$$\begin{aligned}
x^2 – 2x &= (\sqrt{3} + 1)^2 – 2(\sqrt{3} + 1) \\[8pt]
&= 3 + 2\sqrt{3} + 1 – 2\sqrt{3} – 2 \\[8pt]
&= 2
\end{aligned}$$
計算できなくはないが、展開や整理に手間がかかる。ミスも起きやすい。
式の値を効率よく求める3つの方法
式の値を求める問題には、大きく分けて3つのアプローチがある。
方法1：式を因数分解してから代入する
与えられた式を因数分解できる場合、先に因数分解してから代入すると計算が楽になることがある。
例題
$x = \sqrt{3} + 1$ のとき、$x^2 – 2x$ の値を求めよ。
解法：式を因数分解する。
$$x^2 – 2x = x(x – 2)$$
ここで $x = \sqrt{3} + 1$ より、$x – 2 = \sqrt{3} + 1 – 2 = \sqrt{3} – 1$ である。
したがって：
$$\begin{aligned}
x(x – 2) &= (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \\[8pt]
&= (\sqrt{3})^2 – 1^2 \\[8pt]
&= 3 – 1 = 2
\end{aligned}$$
$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)$ は和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$ を使うと、$\sqrt{3}$ を含まない整数になる。
方法2：$x$ についての関係式を作って利用する
$x = \sqrt{a} + b$ の形のとき、$x$ についての関係式を作り、それを利用する方法がある。
例題
$x = \sqrt{5} + 2$ のとき、$x^2 – 4x + 1$ の値を求めよ。
解法：$x = \sqrt{5} + 2$ を変形して関係式を作る。
$$\begin{aligned}
x &= \sqrt{5} + 2 \\[8pt]
x – 2 &= \sqrt{5}
\end{aligned}$$
両辺を2乗すると：
$$\begin{aligned}
(x – 2)^2 &= (\sqrt{5})^2 \\[8pt]
x^2 – 4x + 4 &= 5 \\[8pt]
x^2 – 4x &= 1
\end{aligned}$$
したがって：
$$x^2 – 4x + 1 = 1 + 1 = 2$$
この方法のポイントは、「$x – 2 = \sqrt{5}$」のように根号を一方に集めてから2乗することである。すると $x^2 – 4x$ のような式が自然に出てくる。
方法3：$x + \dfrac{1}{x}$ の形を利用する
$x$ とその逆数 $\dfrac{1}{x}$ の和や積を使う問題では、独特の計算技法がある。
例題
$x = \sqrt{2} + 1$ のとき、$x + \dfrac{1}{x}$ および $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ の値を求めよ。
解法：まず $\dfrac{1}{x}$ を有理化する。
$$\begin{aligned}
\frac{1}{x} &= \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \\[8pt]
&= \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} \\[8pt]
&= \frac{\sqrt{2} – 1}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} \\[8pt]
&= \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} = \sqrt{2} – 1
\end{aligned}$$
したがって：
$$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} – 1) = 2\sqrt{2}$$
$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ は、$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2$ を利用する。
$$\begin{aligned}
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 &= x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \\[8pt]
&= x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
\end{aligned}$$
よって：
$$\begin{aligned}
x^2 + \frac{1}{x^2} &= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 \\[8pt]
&= (2\sqrt{2})^2 – 2 \\[8pt]
&= 8 – 2 = 6
\end{aligned}$$
解法選択のフローチャート
どの方法を使うかは、与えられた式の形で判断する。
式の変形パターンを図で理解する
方法2で使う「関係式を作る」テクニックを、具体例で視覚的に確認しよう。
このように、$x = \sqrt{5} + 2$ という条件から $x^2 – 4x = 1$ という関係式が導かれる。これを知っていれば、$x^2 – 4x$ を含む任意の式の値が簡単に求められる。
例題で解き方を確認する
例題1
$x = \sqrt{7} – 3$ のとき、$x^2 + 6x – 5$ の値を求めよ。
【解法】関係式を作る方法を使う。
$$\begin{aligned}
x &= \sqrt{7} – 3 \\[8pt]
x + 3 &= \sqrt{7}
\end{aligned}$$
両辺を2乗する。
$$\begin{aligned}
(x + 3)^2 &= (\sqrt{7})^2 \\[8pt]
x^2 + 6x + 9 &= 7 \\[8pt]
x^2 + 6x &= -2
\end{aligned}$$
求める式に代入する。
$$\begin{aligned}
x^2 + 6x – 5 &= (x^2 + 6x) – 5 \\[8pt]
&= -2 – 5 = -7
\end{aligned}$$
答え：$-7$
例題2
$x = \dfrac{1}{\sqrt{3} – 1}$ のとき、$x^2 – 2x + 3$ の値を求めよ。
【解法】まず $x$ を有理化する。
$$\begin{aligned}
x &= \frac{1}{\sqrt{3} – 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \\[8pt]
&= \frac{\sqrt{3} + 1}{3 – 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
\end{aligned}$$
これを変形する。
$$\begin{aligned}
2x &= \sqrt{3} + 1 \\[8pt]
2x – 1 &= \sqrt{3}
\end{aligned}$$
両辺を2乗する。
$$\begin{aligned}
(2x – 1)^2 &= 3 \\[8pt]
4x^2 – 4x + 1 &= 3 \\[8pt]
4x^2 – 4x &= 2 \\[8pt]
x^2 – x &= \frac{1}{2}
\end{aligned}$$
求める式を変形する。
$$\begin{aligned}
x^2 – 2x + 3 &= (x^2 – x) – x + 3 \\[8pt]
&= \frac{1}{2} – x + 3
\end{aligned}$$
$x = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$ を代入する。
$$\begin{aligned}
&= \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + 3 \\[8pt]
&= \frac{1 – \sqrt{3} – 1}{2} + 3 \\[8pt]
&= \frac{-\sqrt{3}}{2} + 3 = 3 – \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}$$
答え：$3 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
例題3
$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、$y = \sqrt{5} – \sqrt{3}$ のとき、$x^2 + y^2$ と $xy$ の値を求めよ。
【解法】2文字の対称式は、和と積を使うと計算しやすい。
まず $x + y$ と $xy$ を求める。
$$\begin{aligned}
x + y &= (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} – \sqrt{3}) = 2\sqrt{5} \\[8pt]
xy &= (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} – \sqrt{3}) = 5 – 3 = 2
\end{aligned}$$
$x^2 + y^2$ は $(x + y)^2$ を展開して求める。
$$\begin{aligned}
(x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 \\[8pt]
x^2 + y^2 &= (x + y)^2 – 2xy \\[8pt]
&= (2\sqrt{5})^2 – 2 \times 2 \\[8pt]
&= 20 – 4 = 16
\end{aligned}$$
答え：$x^2 + y^2 = 16$、$xy = 2$
よくある間違いと対策
間違い1
2乗するときに展開を間違える
$(x – 2)^2 = x^2 – 4$ としてしまう。
対策：$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ であることを確認する。$(x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4$ が正しい。
間違い2
有理化し忘れる
$\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1}$ をそのまま計算しようとする。
対策：分母に根号があるときは、必ず有理化してから先に進む。
間違い3
関係式の符号を間違える
$x = \sqrt{5} + 2$ から $x + 2 = \sqrt{5}$ としてしまう。
対策：移項したら符号が変わることを意識する。$x – 2 = \sqrt{5}$ が正しい。
この単元のよくある質問
Q. どの方法を使えばいいかわからないときはどうすればいい？
A. まず式を因数分解できないか試してみよう。できなければ、$x = \sqrt{a} + b$ の形から関係式を作る方法を使う。$\dfrac{1}{x}$ が出てくる問題では、有理化してから $x + \dfrac{1}{x}$ の形を活用するのが定石である。
Q. 関係式を作るとき、なぜ2乗するの？
A. 2乗すると根号（$\sqrt{}$）が消えて、$x$ だけの式になるからである。$(\sqrt{a})^2 = a$ という性質を使っている。これにより、$x^2$ や $x$ を含む関係式が得られる。
Q. $x^2 + y^2$ を求めるのに、なぜ $(x + y)^2$ を使うの？
A. $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ という展開公式を逆に使っている。$x + y$ と $xy$ は比較的簡単に計算できることが多いので、$x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy$ と変形すると効率よく求められる。
練習問題
問1. $x = \sqrt{6} + 1$ のとき、$x^2 – 2x + 3$ の値を求めよ。
$x = \sqrt{6} + 1$ より、$x – 1 = \sqrt{6}$
両辺を2乗すると：
$$\begin{aligned}
(x – 1)^2 &= 6 \\[8pt]
x^2 – 2x + 1 &= 6 \\[8pt]
x^2 – 2x &= 5
\end{aligned}$$
したがって：
$$x^2 – 2x + 3 = 5 + 3 = 8$$
答え：$8$
問2. $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ のとき、$x + \dfrac{1}{x}$ の値を求めよ。
$\dfrac{1}{x}$ を有理化する。
$$\begin{aligned}
\frac{1}{x} &= \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\sqrt{3} – \sqrt{2}} \\[8pt]
&= \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{3 – 2} = \sqrt{3} – \sqrt{2}
\end{aligned}$$
したがって：
$$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$$
答え：$2\sqrt{3}$
問3. $x = 2 + \sqrt{3}$、$y = 2 – \sqrt{3}$ のとき、$x^2 – xy + y^2$ の値を求めよ。
まず $x + y$ と $xy$ を求める。
$$\begin{aligned}
x + y &= (2 + \sqrt{3}) + (2 – \sqrt{3}) = 4 \\[8pt]
xy &= (2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3}) = 4 – 3 = 1
\end{aligned}$$
$x^2 + y^2$ を求める。
$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = 16 – 2 = 14$$
したがって：
$$x^2 – xy + y^2 = (x^2 + y^2) – xy = 14 – 1 = 13$$
答え：$13$
まとめ
この記事では、平方根を含む式の値を求める問題について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 式を因数分解できるときは、因数分解してから代入する
- $x = \sqrt{a} + b$ の形のときは、関係式を作って利用する
- $\dfrac{1}{x}$ を含む式では、有理化してから $x + \dfrac{1}{x}$ の形を活用する
- 2文字の対称式は、和と積を求めてから計算する
直接代入すると複雑になる問題でも、式を工夫すれば効率よく解ける。この「工夫する力」は、高校数学でも必ず役に立つ。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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