「分母に$\sqrt{}$があるとき、どうやって消すの？」と悩んでいないだろうか。
テストで$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$のような答えを書いたら、「有理化しなさい」と赤ペンで直された経験がある人も多いはずである。有理化の手順を知らないと、せっかく正しく計算しても減点されてしまう。
実は、分母の有理化は「分母と同じものを上下に掛ける」というたった1つのルールを守るだけである。この記事では、なぜそうするのか、どう計算するのかを図解とアニメーションで順を追って解説する。
そもそも「分母の有理化」とは？
分母の有理化とは、分母にある根号（$\sqrt{}$）を消して、整数や分数の形にすることである。
有理数とは、分数の形（$\dfrac{整数}{整数}$）で表せる数のことである。$\sqrt{2}$や$\sqrt{3}$は分数で表せない無理数なので、それを分母から消す作業を「有理化」と呼ぶ。
具体的に見てみよう。
左の式は分母が$\sqrt{2}$（無理数）だが、右の式は分母が$2$（整数）になっている。これが有理化である。
なぜ有理化が必要なのか？
- 分母が整数の方が、値の大きさをイメージしやすい
- 他の式と足し算・引き算するときに計算しやすい
- 数学のルールとして「答えは有理化した形で書く」と決まっている
有理化の仕組みを図で理解する
有理化の鍵となるのは、次の公式である。
$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$、$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$のように、同じルートを2回掛けると根号が消える。
この性質を使って、分母の根号を消す。具体的には、分母と分子の両方に同じ$\sqrt{}$を掛ける。
アニメーションで確認したように、$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ なので、これを掛けても分数の値は変わらない。しかし分母では $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ となり、根号が消える。これが有理化の仕組みである。
有理化の手順
分母の根号を確認する
分母にある$\sqrt{}$の中身を見る。
例：$\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ なら、分母は$\sqrt{5}$
分母と同じ根号を、分子と分母の両方に掛ける
$\dfrac{3}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ の形にする。
$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$ なので、分数の値は変わらない。
分子と分母をそれぞれ計算する
分子：$3 \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
分母：$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$
答えを書く
$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
分母が整数になったので、有理化完了。
例題で確認しよう
例題1（基本）
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ を有理化せよ。
分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けた。分母は$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$となり、整数になった。
例題2（分子に数がある場合）
$\dfrac{6}{\sqrt{2}}$ を有理化せよ。
最後に$\dfrac{6}{2} = 3$と約分することを忘れずに。
例題3（分母に係数がある場合）
$\dfrac{4}{3\sqrt{2}}$ を有理化せよ。
分母の$3$はそのまま残り、$\sqrt{2}$だけが$2$になる。最後に約分して$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$が答え。
有理化のパターンを視覚化
ボタンを押して、3つのパターンを確認しよう。どのパターンでも「分母の根号と同じものを上下に掛ける」という基本は同じである。
よくある間違いと対策
分子だけに$\sqrt{}$を掛けてしまう
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$（間違い）
分子と分母の両方に掛けないと、分数の値が変わってしまう。$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ が正解。
約分を忘れる
$\dfrac{6}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2}$（ここで止まってしまう）
$\dfrac{6}{2} = 3$ と約分できるので、答えは $3\sqrt{2}$。約分できるかどうか必ず確認しよう。
分母の係数にも根号を掛けてしまう
$\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \times 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$（正解）
係数の$2$はそのまま残る。$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$となり、$2 \times 3 = 6$が分母になる。
この単元のよくある質問
Q. なぜ分母を有理化しないといけないのですか？
A. 数学では「答えはできるだけ簡単な形で書く」というルールがあります。分母が整数の方が計算しやすく、値の大きさもイメージしやすいため、有理化した形を「正式な答え」として扱います。テストでは有理化していないと減点されることが多いです。
Q. √2/√2 を掛けても値が変わらないのはなぜですか？
A. √2/√2 = 1 だからです。どんな数に1を掛けても値は変わりません。これを利用して、分数の見た目だけを変えているのが有理化の仕組みです。
Q. 分母が √2 + 1 のような形のときはどうすればいいですか？
A. その場合は「√2 – 1」を上下に掛けます。これを「共役な式を掛ける」といいます。(√2 + 1)(√2 – 1) = 2 – 1 = 1 となり、分母が整数になります。この方法は高校で詳しく学びます。
練習問題
まとめ
この記事では、分母の有理化について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 有理化とは、分母の根号を消して整数にすること
- やり方は「分母と同じ$\sqrt{}$を、分子と分母の両方に掛ける」
- $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ で根号が消える
- 最後に約分できるか確認すること
有理化は、公式を覚えるより「なぜそうするか」を理解することが大切である。仕組みがわかれば、どんな問題でも迷わず解ける。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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