【平方根】√の中を簡単にする方法（素因数分解）【alg-sqrt-006】【必須】

そもそも「√の中を簡単にする」とは？

√の中を簡単にするとは、根号こんごうの中の数をできるだけ小さくすることである。

例えば、次のような変形を指す。

左辺の$\sqrt{12}$と右辺の$2\sqrt{3}$は、同じ値を表している。しかし、右辺の方が√の中身が小さく、計算に使いやすい形である。

根号こんごうとは、√（ルート）の記号のことである。√の中に入っている数を「根号の中の数」と呼ぶ。

なぜこのような変形ができるのか。そこで登場するのが素因数分解である。

√を簡単にするための基本ルール

√の中を簡単にするとき、次のルールを使う。

$a^2$は「$a$の2乗」、つまり$a \times a$のことである。2乗の数は√の外に出せる。

このルールの意味を具体例で確認しよう。

$\sqrt{12}$を考える。12を素因数分解すると

$2^2$（2の2乗）が見つかった。これを√の外に出すと

このように、2乗になっている数を見つけて√の外に出すのが基本である。

アニメーションで理解する

$\sqrt{18}$を簡単にする過程を、アニメーションで見てみよう。

ポイントは、素因数分解をして「2乗」を探すことである。2乗が見つかれば、それを√の外に出せる。

√の中を簡単にする手順

ここまでの内容を整理して、手順としてまとめる。

素因数分解そいんすうぶんかいとは、ある数を素数そすうの積で表すことである。素数とは、1とその数自身でしか割り切れない数（2, 3, 5, 7, 11, …）のことである。

例題で手順を確認する

例題1：$\sqrt{50}$を簡単にする

答え：$5\sqrt{2}$

例題2：$\sqrt{72}$を簡単にする

答え：$6\sqrt{2}$

2乗が複数あるときは、それぞれを外に出して掛け算する。$2^2 \to 2$、$3^2 \to 3$で、$2 \times 3 = 6$が√の外に出る。

例題3：$\sqrt{48}$を簡単にする

$2^4 = 2^2 \times 2^2$なので、$2^2$が2セットある。

答え：$4\sqrt{3}$

$2^4$のように4乗がある場合は、「2乗が2セット」と考える。$2^4 = (2^2)^2$なので、$2^2 = 4$が外に出る。

素因数分解の確認アニメーション

素因数分解に自信がない人のために、分解の手順を可視化しておく。

素因数分解では、割れるだけ2で割り、次に3で割り…と進めていく。同じ素数が何回出てくるかを数えると、2乗や3乗が見つかる。

よくある間違いと対策

間違い1：素因数分解を途中でやめてしまう

$\sqrt{50}$を「$50 = 2 \times 25$だから$\sqrt{2 \times 25}$」で止めてしまうケース。

対策：25はまだ$5 \times 5 = 5^2$と分解できる。素数になるまで分解を続けること。

間違い2：2乗でないものを外に出す

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3}$で、「4が入っているから4を外に出して$4\sqrt{3}$」としてしまうケース。

対策：外に出るのは「2乗の底」である。$4 = 2^2$なので、外に出るのは2。正しくは$2\sqrt{3}$。

間違い3：√の中に何も残さない

$\sqrt{36} = \sqrt{6^2}$を「$6\sqrt{}$」のように書いてしまうケース。

対策：√の中が完全に2乗なら、根号を外して整数になる。$\sqrt{36} = 6$である。√の記号は不要。

この単元のよくある質問

練習問題