「$\sqrt{5}$ と $\sqrt{7}$ はどっちが大きい？」と聞かれたら、すぐに答えられるだろうか。
平方根の大小比較でつまずく人は多い。「ルートの中身が大きければ大きいのでは？」と思っても、$\sqrt{12}$ と $3.5$ のような比較になると途端に自信がなくなる。
実は、平方根の大小比較にはたった2つのルールを覚えるだけで、どんな問題でも確実に解けるようになる。この記事では、そのルールを図解とともに順を追って解説する。
そもそも平方根の大小とは？
平方根とは、2乗してその数になる値のことである。例えば $\sqrt{9} = 3$ は、$3^2 = 9$ だから成り立つ。
不等号とは、数の大小を表す記号のことである。$<$（小なり）と $>$（大なり）がある。例えば $3 < 5$ は「3は5より小さい」という意味である。
平方根の大小比較とは、$\sqrt{2}$ や $\sqrt{5}$ のような無理数を含む数どうしで、どちらが大きいかを判定することである。
具体的には、次のようなパターンがある。
- $\sqrt{3}$ と $\sqrt{7}$ の比較（ルートどうし）
- $\sqrt{10}$ と $4$ の比較（ルートと整数）
- $3\sqrt{2}$ と $2\sqrt{5}$ の比較（係数付きのルート）
大小比較の2つのルール
平方根の大小比較には、次の2つのルールだけを覚えればよい。
正の数では、ルートの中身が大きいほど値も大きい
$a > 0$、$b > 0$ のとき、$a > b$ ならば $\sqrt{a} > \sqrt{b}$
2乗しても大小関係は変わらない（正の数のみ）
$a > 0$、$b > 0$ のとき、$a > b$ と $a^2 > b^2$ は同じ意味
ルール2が使えるのは正の数どうしの比較に限る。負の数が混ざると成り立たない。例えば $-3 < 2$ だが $(-3)^2 = 9 > 4 = 2^2$ となり、大小が逆転してしまう。
大小比較を図で理解する
まず、数直線上で平方根がどこに位置するかを確認しよう。
数直線を見ると、$\sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}$ であることがわかる。ルートの中身が大きいほど、数直線上で右側（大きい方）に位置している。
2乗して比較する方法
次に、ルール2を使った比較方法をアニメーションで確認しよう。
このように、平方根と整数を比較するときは、両方を2乗して整数どうしの比較に持ち込むのがコツである。
大小比較の手順
平方根の大小比較は、次の手順で解く。
ルートの中身だけで判断できるか確認する
$\sqrt{a}$ と $\sqrt{b}$ の比較なら、$a$ と $b$ を比べるだけでよい。
形が違う場合は2乗する
$\sqrt{a}$ と $b$（整数）の比較なら、両方を2乗して $a$ と $b^2$ を比べる。
係数がある場合も2乗する
$a\sqrt{b}$ と $c\sqrt{d}$ の比較なら、$(a\sqrt{b})^2 = a^2 b$ と $(c\sqrt{d})^2 = c^2 d$ を比べる。
例題で確認しよう
例題1：ルートどうしの比較
問題：$\sqrt{11}$ と $\sqrt{8}$ の大小を不等号で表せ。
これはルール1をそのまま使えばよい。
ルートの中身が大きい方が、値も大きい。これだけで判断できる。
例題2：ルートと整数の比較
問題：$\sqrt{20}$ と $5$ の大小を不等号で表せ。
形が違うので、両方を2乗して比較する。
例題3：係数付きルートの比較
問題：$3\sqrt{2}$ と $2\sqrt{5}$ の大小を不等号で表せ。
係数がある場合も、2乗すれば整数の比較になる。
$(a\sqrt{b})^2 = a^2 \times b$ となる。係数の2乗とルートの中身をかけ算する。
3つ以上の数を並べる
3つ以上の数を小さい順（または大きい順）に並べる問題もある。この場合、すべて2乗して比較するのが確実である。
よくある間違いと対策
ルートの中身だけを見て判断してしまう
$\sqrt{10}$ と $3$ で「10の方が大きいから $\sqrt{10} > 3$」と即断するのは危険。$3 = \sqrt{9}$ と考えて比較するか、2乗して確認する。
係数付きの2乗を間違える
$(3\sqrt{2})^2 = 3 \times 2 = 6$ は誤り。正しくは $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times 2 = 18$。係数も2乗することを忘れない。
不等号の向きを逆にする
「小さい方」を聞かれているのに「大きい方」を答えてしまう。問題文をよく読み、最後に確認する。
この単元のよくある質問
Q. なぜ2乗しても大小関係が変わらないのですか？
A. 正の数どうしの場合、大きい数を2乗した方が必ず大きくなるからです。例えば $2 < 3$ で、$2^2 = 4 < 9 = 3^2$ です。ただし負の数が混ざると成り立たないので、正の数限定のルールです。
Q. $\sqrt{4}$ と $2$ はどちらが大きいですか？
A. $\sqrt{4} = 2$ なので、両者は等しいです。このように、ルートの中身が平方数（1, 4, 9, 16...）の場合は整数に直してから比較すると簡単です。
Q. 小数に直して比較してもいいですか？
A. 電卓が使える場合は可能ですが、テストでは使えないことが多いです。2乗して比較する方法なら、筆算だけで正確に判定できるので確実です。
練習問題
$\sqrt{15}$ と $4$
$5\sqrt{2}$ と $\sqrt{51}$
$4$、$\sqrt{18}$、$3\sqrt{2}$
まとめ
この記事では、平方根の大小比較について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- ルートどうしの比較は、中身を比べるだけでよい
- 形が違う場合は、両方を2乗して整数の比較に持ち込む
- $(a\sqrt{b})^2 = a^2 \times b$ を忘れない
- 3つ以上の数を並べるときも、すべて2乗して比較する
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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