「$\sqrt{9}$ の答えは $\pm 3$ だよね？」——この答え方をしている人は、かなり危険である。
$\sqrt{9} = 3$ なのか、$\sqrt{9} = \pm 3$ なのか、自信を持って答えられるだろうか。テストで「$\sqrt{}$ の前に $\pm$ をつけるべきか迷う」「正の平方根と負の平方根の違いがわからない」という悩みを抱えていないだろうか。
実は、$\sqrt{}$（根号）の意味を正しく理解していないだけである。この記事では、平方根の「正負」について、図解とアニメーションで完全に理解できるまで解説する。
そもそも「平方根」とは何か
ある数 $a$ があるとき、「2乗すると $a$ になる数」のことを $a$ の平方根という。
平方とは「2乗」のこと。つまり平方根とは「2乗の根っこ（もと）になる数」という意味である。
例えば、$9$ の平方根を考えてみよう。
しかし、これだけではない。
つまり、$9$ の平方根は $3$ と $-3$ の2つある。これが最も重要なポイントである。
「正の平方根」と「負の平方根」を図で理解する
2乗して $9$ になる数を数直線上で確認してみよう。
このように、正の数 $a$ の平方根は必ず2つ存在する。
- 正の平方根：$\sqrt{a}$ と書く（根号で表す）
- 負の平方根：$-\sqrt{a}$ と書く
2つまとめて表すときは $\pm\sqrt{a}$ と書く。
$\sqrt{}$ の意味を正確に理解する
ここが最も間違えやすいポイントである。
$\sqrt{a}$ は「$a$ の正の平方根」を表す記号である。
つまり、$\sqrt{9}$ と書いたら、それは「$9$ の正の平方根」、すなわち $3$ のことである。
$\sqrt{}$ という記号自体に「正の方だけを取り出す」という意味が含まれている。だから $\sqrt{9} = \pm 3$ と書くのは誤りである。
整理：3つの表現の違い
次の3つの表現の違いを、しっかり区別しよう。
| 表現 | 意味 | 値 |
|---|---|---|
| $9$ の平方根 | 2乗して $9$ になる数すべて | $3$ と $-3$ |
| $\sqrt{9}$ | $9$ の正の平方根 | $3$ |
| $-\sqrt{9}$ | $9$ の負の平方根 | $-3$ |
なぜ $\pm$ が必要な場面があるのか
「$x^2 = 9$ を解け」という問題を考えてみよう。
この場合は $\pm$ が必要である。なぜなら、$x$ は正の数かもしれないし、負の数かもしれないからである。
方程式の解を求めるときは「どちらの可能性もある」ので $\pm$ をつける。一方、$\sqrt{9}$ という記号自体は「正の方」と決まっている。この違いを混同しないこと。
例題：正の平方根と負の平方根を求める
次の値を求めなさい。
(1) $16$ の正の平方根
(2) $16$ の負の平方根
(3) $\sqrt{16}$
(4) $-\sqrt{16}$
解答
(1) $16$ の正の平方根
2乗して $16$ になる正の数を探す。$4^2 = 16$ だから、答えは $4$
(2) $16$ の負の平方根
2乗して $16$ になる負の数を探す。$(-4)^2 = 16$ だから、答えは $-4$
(3) $\sqrt{16}$
$\sqrt{16}$ は $16$ の正の平方根を表す記号である。答えは $4$
(4) $-\sqrt{16}$
$-\sqrt{16}$ は $16$ の負の平方根を表す。$-\sqrt{16} = -4$ だから、答えは $-4$
よくある間違いと対策
$\sqrt{25} = \pm 5$ と答えてしまう
→ $\sqrt{}$ は「正の平方根」を表す記号。$\sqrt{25} = 5$ が正解。
「$25$ の平方根」と聞かれて $5$ だけ答える
→「$25$ の平方根」は正と負の両方。$\pm 5$（または $5$ と $-5$）が正解。
$-\sqrt{9}$ を「$9$ の平方根の負の方」と混同する
→ $-\sqrt{9} = -3$ で正しい。記号の意味を正確に押さえよう。
この単元のよくある質問
Q. $\sqrt{9}$ と $\pm\sqrt{9}$ は何が違うのですか？
A. $\sqrt{9}$ は「9の正の平方根」を表し、値は $3$ です。一方、$\pm\sqrt{9}$ は「9の平方根すべて」を表し、$3$ と $-3$ の両方を意味します。$\sqrt{}$ という記号自体に「正の方」という意味が含まれているため、$\pm$ をつけるかどうかで意味が変わります。
Q. 方程式 $x^2 = a$ を解くとき、なぜ $\pm$ が必要なのですか？
A. $x^2 = a$ を満たす $x$ は、正の数かもしれないし負の数かもしれないからです。例えば $x^2 = 9$ なら、$x = 3$ も $x = -3$ も解になります。「どちらの可能性もある」ことを示すために $x = \pm\sqrt{a}$ と書きます。
Q. $0$ の平方根はいくつですか？
A. $0$ の平方根は $0$ だけです。$0^2 = 0$ であり、他に2乗して $0$ になる数はありません。また $\sqrt{0} = 0$ です。正の数のように正負2つあるわけではない点に注意してください。
練習問題
(1) $49$ の正の平方根
(2) $49$ の負の平方根
(3) $\sqrt{49}$
(4) $-\sqrt{49}$
(1) $100$ の平方根をすべて答えなさい。
(2) $\sqrt{100}$ の値を求めなさい。
(3) $\pm\sqrt{100}$ の値を求めなさい。
「$\sqrt{a}$ は、$a$ の（ ）の平方根を表す記号である。」
まとめ
この記事では、平方根の「正負」について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 正の数 $a$ の平方根は、正と負の2つ存在する
- $\sqrt{a}$ は「$a$ の正の平方根」を表す記号である
- $-\sqrt{a}$ は「$a$ の負の平方根」を表す
- $\pm\sqrt{a}$ は「$a$ の平方根すべて（正と負の両方）」を表す
- $\sqrt{9} = 3$ であり、$\sqrt{9} = \pm 3$ は誤りである
「$\sqrt{}$ には正の意味が含まれている」——これさえ覚えれば、もう迷うことはない。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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