「平方根って何？」と聞かれて、すぐに説明できるだろうか。
教科書には「2乗して $a$ になる数」と書いてあるが、それだけでは「だから何？」となってしまう人も多いはずである。記号の $\sqrt{}$ が出てくると、急に難しく感じてしまうこともあるだろう。
実は、平方根は「逆算」の考え方さえわかれば、すんなり理解できる。この記事では、平方根の意味を具体的な数で確認しながら、図解とともに丁寧に解説する。
そもそも平方根とは？
平方根とは、2乗してある数になるもとの数のことである。
まず「2乗」を確認しよう。
このとき、$3$ を2乗すると $9$ になる。
では逆に考えてみよう。「2乗して $9$ になる数は何か？」と問われたら、答えは $3$ である。このように、2乗の逆算をして見つかる数が平方根である。
平方とは「2乗」のこと、根とは「もとになる数」のことである。つまり平方根は「2乗のもとになる数」という意味である。
正の数の平方根は2つある
ここで注意が必要である。2乗して $9$ になる数は $3$ だけではない。
$-3$ を2乗しても $9$ になる。負の数×負の数は正の数になるからである。
したがって、$9$ の平方根は $3$ と $-3$ の2つである。
これをまとめて $\pm 3$ と書く。
根号（ルート）の記号
平方根を表す記号として $\sqrt{}$（根号、ルート）を使う。
- $\sqrt{9}$ は「$9$ の正の平方根」を表し、$\sqrt{9} = 3$
- $-\sqrt{9}$ は「$9$ の負の平方根」を表し、$-\sqrt{9} = -3$
$\sqrt{}$ の記号は、正の方だけを表すことに注意しよう。負の平方根を表すときは、前に $-$ をつける。
平方根を図で理解する
平方根は「面積から1辺の長さを求める」と考えるとわかりやすい。
正方形の面積が $9$ のとき、1辺の長さは $3$ である。これは「2乗して $9$ になる正の数」、つまり $\sqrt{9}$ である。
√2 を図で見てみよう
次に、面積が $2$ の正方形を考える。1辺の長さはいくつだろうか。
面積 $4$ の正方形（1辺が $2$）の中に、斜めに正方形を描くと、その面積は $2$ になる。この正方形の1辺の長さが $\sqrt{2}$ である。
$\sqrt{2}$ は約 $1.414…$ と、小数が無限に続く数である。このように、整数の2乗にならない数の平方根は無理数となる。
平方根の求め方
平方根を求める手順を確認しよう。
「2乗して○になる数は？」と考える
例：$16$ の平方根を求める → 「2乗して $16$ になる数は？」
正と負の2つを答える
$4^2 = 16$、$(-4)^2 = 16$ だから、$16$ の平方根は $\pm 4$
根号で表す場合は正の方のみ
$\sqrt{16} = 4$（正の平方根のみ）
例題：平方根を求める
問題：次の数の平方根を求めよ。
(1) $25$ の平方根
(2) $\sqrt{49}$ の値
$\sqrt{}$ は正の平方根だけを表すので、答えは $7$ のみ。$\pm 7$ ではないことに注意しよう。
よくある間違いと対策
平方根でよくある間違いを確認しておこう。
$\sqrt{9} = \pm 3$ と答えてしまう
$\sqrt{}$ は正の平方根のみを表す記号である。$\sqrt{9} = 3$ が正解。
「$9$ の平方根」と聞かれたら $\pm 3$、「$\sqrt{9}$ の値」と聞かれたら $3$ と答える。
負の数の平方根を求めようとする
2乗して負の数になることはない（正×正＝正、負×負＝正）。
したがって、$-4$ の平方根は存在しない（中学範囲では）。
$\sqrt{4}$ を「ルート4」のまま放置する
$\sqrt{4} = 2$ と計算できる。整数の2乗が根号の中にある場合は、必ず計算して整数にする。
平方根の値を整理しよう
よく使う平方根の値を覚えておくと便利である。
| 式 | 値 | 確認（2乗） |
|---|---|---|
| $\sqrt{1}$ | $1$ | $1^2 = 1$ |
| $\sqrt{4}$ | $2$ | $2^2 = 4$ |
| $\sqrt{9}$ | $3$ | $3^2 = 9$ |
| $\sqrt{16}$ | $4$ | $4^2 = 16$ |
| $\sqrt{25}$ | $5$ | $5^2 = 25$ |
| $\sqrt{36}$ | $6$ | $6^2 = 36$ |
| $\sqrt{49}$ | $7$ | $7^2 = 49$ |
| $\sqrt{64}$ | $8$ | $8^2 = 64$ |
| $\sqrt{81}$ | $9$ | $9^2 = 81$ |
| $\sqrt{100}$ | $10$ | $10^2 = 100$ |
$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ のように、整数の2乗で表せる数を平方数という。
この単元のよくある質問
Q. √9 と「9の平方根」は同じ意味ですか？
A. 違う。√9 は正の平方根（$3$）だけを表す。「9の平方根」と聞かれたら、正と負の両方（$\pm 3$）を答える必要がある。問われ方に注意しよう。
Q. √2 や √3 は正確な値を求められないのですか？
A. 小数で正確に表すことはできない（無限に続く）。しかし、$\sqrt{2}$ という記号自体が正確な値を表している。計算では記号のまま扱い、必要に応じて近似値（$\sqrt{2} \approx 1.414$）を使う。
Q. 負の数の平方根はなぜ存在しないのですか？
A. どんな数も2乗すると0以上になる。正の数×正の数＝正、負の数×負の数＝正、0×0＝0 である。2乗して負になる数はないため、負の数の平方根は（実数の範囲では）存在しない。
練習問題
(1) $36$ (2) $81$ (3) $121$
(1) $\sqrt{64}$ (2) $-\sqrt{100}$ (3) $\sqrt{144}$
$3, \quad \sqrt{5}, \quad \sqrt{10}, \quad 2$
まとめ
この記事では、平方根の基本的な意味と考え方について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 平方根とは「2乗してある数になるもとの数」のこと
- 正の数の平方根は正と負の2つある（例：$9$ の平方根は $\pm 3$）
- $\sqrt{}$（ルート）は正の平方根のみを表す（例：$\sqrt{9} = 3$）
- 面積から1辺を求める操作が、平方根を求めることに対応する
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