因数分解でつまずく人の多くは、「共通因数が見つけられない」という同じ壁にぶつかっている。
式を眺めても何をくくり出せばいいのかわからない。公式は覚えたのに、どの公式を使えばいいか判断できない。そんな経験はないだろうか。
実は、共通因数のくくり出しは「探し方のコツ」を知っているかどうかで、できるかできないかが決まる。この記事では、共通因数の見つけ方から、くくり出しの手順まで、順を追って解説する。
そもそも共通因数とは？
共通因数とは、式の各項に共通して含まれている因数のことである。
因数とは、かけ算の形にしたときの「かける数」のことである。例えば $12 = 3 \times 4$ のとき、$3$ と $4$ は $12$ の因数である。
具体的に見てみよう。式 $6x + 9$ を考える。
- $6x = 2 \times 3 \times x$
- $9 = 3 \times 3$
両方の項に $3$ が含まれている。この $3$ が共通因数である。
もう一つ例を見よう。式 $4x^2 + 6x$ を考える。
- $4x^2 = 2 \times 2 \times x \times x$
- $6x = 2 \times 3 \times x$
両方に $2$ と $x$ が含まれている。つまり $2x$ が共通因数である。
共通因数は、係数（数の部分）と文字の部分の両方を確認する必要がある。
くくり出しを図で理解する
共通因数をくくり出すとは、分配法則を逆向きに使うことである。
分配法則とは、$a(b + c) = ab + ac$ という計算ルールのことである。展開するときに使う法則だ。
くくり出しは、この分配法則を右から左へ読む操作である。
下のアニメーションで、くくり出しの仕組みを視覚的に確認しよう。
このように、各項を因数の積に分解し、共通している部分を前に出すのがくくり出しである。
共通因数の見つけ方
共通因数を見つけるには、次の2つを順番に確認する。
各項の係数（数の部分）の最大公約数を求める。
すべての項に含まれる文字を探し、指数が最も小さいものを選ぶ。
例として、$12x^3 + 8x^2$ の共通因数を見つけてみよう。
$12$ と $8$ の最大公約数は $4$ である。
$x^3$ と $x^2$ に共通するのは $x^2$（指数が小さい方）である。
よって、共通因数は $4x^2$ となる。
くくり出しの手順
共通因数が見つかったら、実際にくくり出しを行う。手順は次の通りである。
見つけた共通因数を式の前に書き、かっこを開く。
元の式の各項を共通因数で割った結果を、かっこの中に書く。
展開して元の式に戻るか確認する。
例題1：$6x + 9$ をくくり出す
共通因数は $3$ である。
検算：$3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ ✓
例題2：$4x^2 + 6x$ をくくり出す
共通因数は $2x$ である。
検算：$2x(2x + 3) = 2x \times 2x + 2x \times 3 = 4x^2 + 6x$ ✓
例題3：$12x^3 – 8x^2 + 4x$ をくくり出す
3つの項がある場合も同じ手順で行う。共通因数は $4x$ である。
最後の項 $4x$ を $4x$ で割ると $1$ になる。$1$ を書き忘れないように注意しよう。
よくある間違いと対策
くくり出しでは、次のような間違いが起きやすい。
$12x^2 + 8x$ を $2(6x^2 + 4x)$ としてしまう。
→ 正しくは $4x(3x + 2)$ である。係数と文字の両方で最大の共通因数を取ること。
$6x^2 \div 2x = 3x^2$ としてしまう。
→ 正しくは $6x^2 \div 2x = 3x$ である。指数は引き算することを思い出そう。
$3x + 3$ を $3(x)$ としてしまう。
→ 正しくは $3(x + 1)$ である。$3 \div 3 = 1$ を忘れずに書くこと。
よくある質問と答え（FAQ）
Q. 共通因数が見つからないときはどうすればいいですか？
A. 係数の最大公約数が1で、共通する文字もない場合は、共通因数によるくくり出しはできません。その場合は、乗法公式を使った因数分解（$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$ など）を検討してください。
Q. マイナスの項がある場合はどう処理しますか？
A. 符号も含めて共通因数を考えます。例えば $-6x – 9$ なら、$-3(2x + 3)$ とマイナスごとくくり出すことができます。かっこ内の符号が変わる点に注意してください。
Q. くくり出した結果が正しいか確かめる方法は？
A. くくり出した式を展開（分配法則で計算）して、元の式に戻るか確認してください。例えば $3(2x + 3)$ を展開すると $6x + 9$ になれば正解です。
練習問題
$10x + 15$
$6x^2 – 9x$
$8x^3 + 12x^2 – 4x$
まとめ
この記事では、共通因数のくくり出しについて学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 共通因数とは、各項に共通して含まれる因数のこと
- 係数の最大公約数と、共通する文字（最小の指数）を組み合わせて共通因数を見つける
- くくり出しは分配法則の逆操作である
- 結果は展開して検算すること
- 「1」の書き忘れ、共通因数の取り残しに注意
くくり出しは因数分解の基本中の基本である。この操作が自然にできるようになれば、より複雑な因数分解にも対応できるようになる。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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