「因数分解って、結局何をしているの？」と感じたことはないだろうか。
公式を丸暗記しても、いざ問題を見ると「どの公式を使えばいいかわからない」「そもそも何のためにやるのかピンとこない」——そんな声をよく聞く。
実は、因数分解は「展開の逆」という一言で説明できる。この関係さえつかめば、因数分解が何をしているのか、スッキリ理解できるようになる。この記事では、因数分解の意味を図解とアニメーションで徹底的に解説する。
そもそも因数分解とは？
因数分解とは、式を「かけ算の形」に変えることである。
因数とは、かけ算でその式を作っている「パーツ」のことである。例えば $6 = 2 \times 3$ のとき、$2$ と $3$ は $6$ の因数である。
具体的に見てみよう。
左辺は「足し算の形」、右辺は「かけ算の形」である。この変換が因数分解だ。
逆に、右辺を左辺に変えることを「展開」という。つまり、因数分解と展開は逆の操作なのである。
| 操作 | 変換の方向 | 例 |
|---|---|---|
| 展開 | かけ算 → 足し算 | $(x+2)(x+3) \to x^2+5x+6$ |
| 因数分解 | 足し算 → かけ算 | $x^2+5x+6 \to (x+2)(x+3)$ |
展開と因数分解の関係を図で理解する
展開と因数分解は「行き」と「帰り」のような関係である。以下のアニメーションで確認しよう。
このように、展開した式を元に戻す操作が因数分解である。展開を知っていれば、因数分解は「その逆をやるだけ」と考えればよい。
因数分解を面積図で理解する
$(x + 2)(x + 3)$ は、縦が $(x + 2)$、横が $(x + 3)$ の長方形の面積と考えることができる。
このように、因数分解とは「足し算でバラバラになったパーツを、かけ算の形にまとめ直す」ことなのである。
因数分解の手順
$x^2 + 5x + 6$ を因数分解してみよう。
「かけて $6$、足して $5$」になる2つの数を探す。
$x^2 + (\text{足した数})x + (\text{かけた数})$ の形になることを思い出そう。
$6$ になる組み合わせを書き出す。
| かけて6 | 足すと？ |
|---|---|
| $1 \times 6$ | $1 + 6 = 7$ |
| $2 \times 3$ | $2 + 3 = 5$ ✓ |
$2$ と $3$ を見つけたので、答えを書く。
展開して確認してみよう。$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ となり、元の式に戻ることがわかる。
展開と因数分解をアニメーションで確認
以下のアニメーションで、展開と因数分解が「逆の操作」であることを確認しよう。
よくある間違いと対策
「かけて」と「足して」を逆にする
$x^2 + 5x + 6$ で「足して $6$、かけて $5$」と勘違いするパターン。
対策：$+6$ は「かけた数」、$+5x$ の $5$ は「足した数」と覚えよう。最後の数字がかけ算、真ん中の係数が足し算である。
符号を間違える
$x^2 – 5x + 6$ を $(x + 2)(x + 3)$ としてしまうパターン。
対策：足して $-5$ になる必要がある。「かけて $+6$、足して $-5$」→ $-2$ と $-3$ だから $(x – 2)(x – 3)$ が正解。
展開して確認しない
答えを出したら終わり、と思ってしまうパターン。
対策：必ず展開して元の式に戻るか確認しよう。これがミスを防ぐ最も確実な方法である。
この単元のよくある質問
Q. 因数分解と展開、どちらを先に覚えるべきですか？
A. 展開を先に覚えるのがおすすめである。因数分解は「展開の逆」なので、展開がしっかりできれば、因数分解の意味も自然と理解できるようになる。
Q. 「かけて○、足して△」の数がなかなか見つかりません。
A. 慣れるまでは、「かけて○になる組み合わせ」を全部書き出してから、足し算を確認するとよい。例えば「かけて12」なら、1×12、2×6、3×4 を書き出し、それぞれ足してみる。
Q. 因数分解は何の役に立つのですか？
A. 二次方程式を解くときに必須である。$x^2 + 5x + 6 = 0$ を $(x+2)(x+3) = 0$ と因数分解すれば、$x = -2$ または $x = -3$ とすぐに解ける。また、式の計算を簡単にしたいときにも使う。
練習問題
$x^2 + 7x + 12$
$x^2 + 9x + 20$
$x^2 – 7x + 10$
まとめ
この記事では、因数分解の意味について学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 因数分解とは、式を「かけ算の形」に変えること
- 因数分解は「展開の逆」——展開した式を元に戻す操作
- $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$ の形を使う
- 「かけて○、足して△」になる2数を探す
- 答えを出したら、必ず展開して確認する
因数分解の意味がわかれば、あとは練習あるのみである。公式に当てはめる練習を重ねて、スムーズに手が動くようになろう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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