【文字式】乗法公式①（a+b)²と(a-b)²の展開【中3数学】【必須】

そもそも「展開てんかい」とは？

展開とは、括弧かっこを外して、式をシンプルな形にすることである。

例えば、$3(x+2)$ を展開すると $3x + 6$ になる。これは分配法則ぶんぱいほうそくを使っている。

分配法則とは、$a(b+c) = ab + ac$ のように、括弧の外の数を括弧の中の各項にかけることである。

では、$(a+b)^2$ はどうだろうか。これは $(a+b)(a+b)$ という意味である。つまり、$(a+b)$ を2回かけることになる。

$(a+b)^2$ を図で理解する

$(a+b)^2$ の意味を、面積で考えてみよう。「1辺が $(a+b)$ の正方形の面積」と考えることができる。

このように、$(a+b)^2$ の正方形を4つの部分に分けると、$a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$ の4つになる。$ab$ が2つあるので、合計は次のようになる。

「2ab」の「2」は、長方形が2つあることを表している。これを忘れるミスが非常に多いので、面積図をイメージして覚えよう。

$(a-b)^2$ を図で理解する

次に $(a-b)^2$ を考えよう。これは「1辺が $(a-b)$ の正方形の面積」である。

ただし、引き算なので少し工夫が必要だ。「1辺が $a$ の正方形から、はみ出た部分を引く」と考える。

$(a-b)^2$ は、元の $a^2$ から $2ab$ を引いて、引きすぎた $b^2$ を足し戻すと考えることができる。

$(a+b)^2$ との違いは、真ん中の項の符号だけである。$+2ab$ が $-2ab$ になる。これは「$-b$ を2回かける」ことを意味している。

公式のまとめと覚え方

2つの公式を並べてみよう。

覚え方のコツ：

• 「二乗にじょう」「2倍」「二乗」の順番（$a^2$、$2ab$、$b^2$）
• 真ん中の符号は、括弧の中の符号と同じ（$+$ なら $+2ab$、$-$ なら $-2ab$）
• 両端の $a^2$ と $b^2$ は必ずプラス（二乗は常に正）

例題で手順を確認する

実際に公式を使って展開してみよう。

例題1：$(x+3)^2$ を展開せよ

$2ab$ の部分は「$2 \times x \times 3 = 6x$」と、順番に計算するとミスが減る。

例題2：$(y-5)^2$ を展開せよ

例題3：$(2a+b)^2$ を展開せよ

$a$ の係数けいすうが1以外の場合も、同じように当てはめる。

$(2a)^2 = 2^2 \times a^2 = 4a^2$ である。係数も忘れずに二乗すること。

よくある間違いと対策

この単元のよくある質問

練習問題