確率の問題が「解けたり解けなかったり」という人は多い。基本的な計算はできるのに、入試問題になると急に手が止まる。
「何を数えればいいのかわからない」「場合の数が合わない」「答えを見ても、なぜその式になるのかわからない」——こうした悩みを抱えていないだろうか。
実は、入試問題で問われる確率は、基本パターンの組み合わせでできている。この記事では、入試頻出の確率問題を4つ厳選し、考え方から途中式まで丁寧に解説する。
入試問題を解くための3つの心得
入試の確率問題に挑む前に、解き方の基本姿勢を確認しておこう。
確率を求めるには、分母（すべての場合の数）と分子（条件を満たす場合の数）の両方が必要である。まず分母から考える習慣をつけよう。
頭の中だけで数えると、必ず数え間違いが起こる。面倒でも図や表を書くことが正解への近道である。
「同時に取り出す」「順番に取り出す」「戻す」「戻さない」——これらの違いで答えが変わる。問題文に線を引きながら読もう。
樹形図とは、場合分けを枝分かれの図で表したものである。すべての場合をもれなく、重複なく数えるのに便利な道具だ。
確率の基本公式を確認
すべての問題で使う基本公式を確認しておこう。
この公式は単純だが、「すべての場合」を正しく数えることが最も重要である。
【実践1】さいころ2個の問題
大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の和が7になる確率を求めよ。
解説と解答
Step 1：すべての場合の数を求める
大きいさいころの目は1〜6の6通り、小さいさいころの目も1〜6の6通りである。
Step 2：条件を満たす場合を数える
和が7になる組み合わせを表で確認する。
表から、和が7になる組み合わせは次の6通りである。
（大, 小）＝（1, 6）,（2, 5）,（3, 4）,（4, 3）,（5, 2）,（6, 1）
Step 3：確率を計算する
約分を忘れずに。入試では約分していない答えは減点されることがある。
【実践2】くじ引きの問題（取り出す順番あり）
5本のくじの中に当たりが2本ある。A, Bの2人がこの順に1本ずつくじを引くとき、Aが当たり、Bも当たりになる確率を求めよ。ただし、引いたくじは戻さないものとする。
解説と解答
Step 1：樹形図で考える
「戻さない」という条件がポイントである。Aが引いた後、くじは4本に減る。
Step 2：確率を計算する
Aが当たりを引く確率は $\dfrac{2}{5}$ である（5本中2本が当たり）。
Aが当たりを引いた後、残りは4本で当たりは1本。よって、Bが当たりを引く確率は $\dfrac{1}{4}$ である。
両方が起こる確率は、それぞれの確率をかけ算する。
「戻さない」問題では、1回目の結果によって2回目の条件が変わることに注意。これを条件付き確率の考え方という。
【実践3】カードを並べる問題
1, 2, 3, 4 の数字が書かれた4枚のカードがある。この中から2枚を選んで並べ、2桁の整数をつくる。この整数が3の倍数になる確率を求めよ。
解説と解答
Step 1：すべての場合の数を求める
4枚から2枚を「順番に」選ぶので、
1枚目は4通り、2枚目は残り3枚から選ぶので3通り。
Step 2：すべての場合を書き出す
Step 3：3の倍数を数える
3の倍数の見分け方は「各位の数の和が3の倍数」である。
- 12：1+2=3 → 3の倍数 ✓
- 21：2+1=3 → 3の倍数 ✓
- 24：2+4=6 → 3の倍数 ✓
- 42：4+2=6 → 3の倍数 ✓
他の8通り（13, 14, 23, 31, 32, 34, 41, 43）は3の倍数ではない。
Step 4：確率を計算する
【実践4】点の移動の問題
下の図のように、正方形ABCDの頂点Aに点Pがある。さいころを1回投げて、出た目が偶数なら時計回りに1つ隣の頂点へ、奇数なら反時計回りに1つ隣の頂点へ点Pを移動させる。さいころを2回投げたとき、点Pが頂点Cにある確率を求めよ。
解説と解答
この問題は、すべての場合を樹形図で整理するのがポイントである。
Step 1：すべての場合を整理する
さいころを2回投げるので、1回ごとに偶数か奇数かの2通りがある。
それぞれの場合を追跡する。
| 1回目 | 2回目 | 経路 | 最終位置 |
|---|---|---|---|
| 偶数 | 偶数 | A→B→C | C |
| 偶数 | 奇数 | A→B→A | A |
| 奇数 | 偶数 | A→D→A | A |
| 奇数 | 奇数 | A→D→C | C |
Step 2：確率を計算する
4通り中、Cに到達するのは2通りである。
この問題では「偶数・奇数」の出やすさがそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ で等しいので、4通りはすべて同様に確からしい。
入試問題を解くコツまとめ
この単元のよくある質問
Q. 樹形図と表、どちらを使えばいいですか？
A. 2つの事象を同時に考える場合は表が便利である（さいころ2個など）。一方、順番に選んでいく場合や条件分岐がある場合は樹形図が向いている。問題に応じて使い分けよう。
Q. 「同時に取り出す」と「順番に取り出す」で何が違うのですか？
A. 「同時に取り出す」は順番を区別しない。例えば「AとB」と「BとA」は同じ1通りとして数える。「順番に取り出す」は順番を区別し、これらを別の2通りとして数える。
Q. 確率の答えは必ず約分しないといけませんか？
A. 入試では約分した形で答えるのが基本である。約分し忘れると減点される場合があるので、最後に必ず約分できないか確認しよう。
練習問題
まとめ
この記事では、入試頻出の確率問題4パターンを学んだ。ポイントは以下の通りである。
- 確率の基本は「条件を満たす場合 ÷ すべての場合」
- さいころ2個は36通りの表で整理する
- 「戻さない」問題では、条件の変化に注意する
- 樹形図で「もれなく・重複なく」数える習慣をつける
- 「少なくとも」の問題は余事象も検討する
確率は、考え方さえ身につければ確実に得点できる分野である。この記事の問題を繰り返し解いて、手順を体に染み込ませよう。
Core-dorill— 基礎を、何度でも。
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